A maior parte deste problema se refere a seção 2.1 do livro do Taylor

a) Encontre a velocidade e a posição de uma esfera de massa m submetida a gravidade e a uma força de arrasto proporcional ao quadrado da velocidade:

m d v d t = m g - β v 2

Particularmente, para objetos esféricos, β pode ser reescrito como:

β = γ D 2

sendo D o diâmetro e γ depende do meio. O valor de γ para objetos esféricos no ar

γ = 0,25   N ∙ s 2 / m 4

Calcule a velocidade terminal de uma esfera em queda livre de densidade ρ = 162,5   k g / m 3 e raio R = 22   c m .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente encontrar a velocidade e a posição de uma esfera submetida a gravidade e a uma força de arrasto proporcional ao quadrado da velocidade, conforme a equação m d v d t = m g - β v 2 .

Para encontrar a velocidade, nós vamos passa toda depedência em v para o lado esquerdo e toda depedência no tempo para o lado direito. Em seguida, vamos integrar a equação para obter v ( t ) e integrar novamente para obter a posição x ( t ) .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar arrumando nossa equação:

m d v d t = m g - β v 2

Simplificando m e isolando os termos de v , temos:

d v g - β v 2 = d t

Integrando a equação dos dois lados:

∫ 0 v d v ' g - β v ' 2 = ∫ 0 t d t '

O sobrescrito ' é apenas para diferenciar dos intervalos de integração nesse caso. Essa integral pode ser calculada com o auxílio de uma tabela ou do seu computador, e nos fornece o resultado:

1 g β arctanh ⁡ β g v = t

De onde tiramos que:

v t = g β tanh ⁡ β g t

A partir dessa velocidade, integramos e obtemos a posição:

x t - x 0 = ∫ 0 t v t ' d t ' = g β ∫ 0 t tanh ⁡ β g t ' d t '

O que nos dá:

x t = x 0 + 1 β ln ⁡ cosh ⁡ β g t

Passo 3

Para calcular a velocidade terminal de uma esfera em queda livre de densidade ρ = 162,5   k g / m 3 e raio R = 22   c m , podemos usar a expressão:

v t = 2 m g ρ A γ D 2

Mas a massa pode ser calculada através da densidade e do volume por meio de m = ρ V . Nós sabemos também que o volume da esfera é dado por V = 4 3 π R 3 , sua área é A = 4 π R 2 e seu diâmetro D = 2 R . Simplificando tudo na equação, temos:

v = g 6 R

Substituindo g = 10   m / s 2 e R = 0 ,   22   m , encontramos:

v ≈ 2,75240

Prontinho, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

v t = g β tanh ⁡ β g t

x t = x 0 + 1 β ln ⁡ cosh ⁡ β g t

v ≈ 2,75240

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