Questão 1) Um participante de desafios pretende chutar uma bola, inicialmente parada no chão de uma quadra, para acertar uma cesta de basquete, a uma altura H do chão. Seja v 0 o módulo da velocidade imprimida à bola pelo chute, α o ângulo entre o vetor velocidade inicial e a quadra e g o módulo da aceleração gravitacional, determine:

a) O tempo decorrido entre o chute e o instante que a bola atinge a cesta (aro).

b) O vetor velocidade ao atingir o aro.

c) Com base nos seus resultados, a bola ao atingir o aro já passou pelo ponto mais alto da trajetória? Justifique sua resposta.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Imagine que estamos em uma quadra de basquete e em um surto de peculiaridade decidimos impressionar nossos amigos tentando fazer uma cesta chutando a bola.

A bola está parada no chão da quadra e a cesta está a uma altura H do chão. Quando chutamos a bola, ela imediatamente atinge uma velocidade v 0 que faz um ângulo α com a horizontal.

Sendo g a aceleração gravitacional queremos responder algumas perguntas.

Primeiro: qual é o tempo que demora para a bola atingir a cesta?

Segundo: qual é o vetor velocidade da bola ao atingir o aro?

E terceiro: ao atingir o aro, a bola já passou pelo seu ponto mais alto da trajetória?

E aí? Tem ideia de como responder essas perguntas?? 🤔

Relaxa! Vamos resolver uma de cada vez!

Bora lá? 😁

Passo 2

Antes de começar a responder as perguntas, temos que ter em mente uma coisa muito importante!

Estamos trabalhando com um lançamento oblíquo já que um chute faz com que a bola tenha um movimento parabólico. Nesses problemas temos dois tipos de movimentos, o movimento horizontal e o movimento vertical. O movimento horizontal é caracterizado por ser um movimento uniforme e o movimento vertical por ser um movimento acelerado.

Não sabemos qual é a distância horizontal entre a bola e a cesta, então vamos atribuir uma variável d a ela.

Respondendo a primeira pergunta “qual é o tempo que a bola leva para chegar à cesta?”.

Se horizontalmente o movimento é uniforme, podemos descrever seu movimento pela formula da velocidade, não é?

v 0 x = d ∆ t

Qual é a componente x do vetor v 0 ? Desmembrando o vetor, vemos que

v 0 x = v 0 c o s α

Substituindo na formula da velocidade, temos

v 0 c o s α = d ∆ t

Isolando ∆ t

∆ t = d v 0 c o s α

Então vemos que o tempo que a bola demora a atingir a cesta depende da distância horizontal entre elas, da magnitude do vetor velocidade inicial e do ângulo α entre o vetor e o plano horizontal!

Entendeu? Bora pra próxima!

Passo 3

A segunda pergunta é: qual é o vetor velocidade da bola ao atingir o aro?

Dado que o movimento horizontal é uniforme, a componente x do vetor velocidade sempre será a mesma em todo o trajeto até a cesta.

Já a componente y do vetor velocidade não é uniforme pois sofre a ação da aceleração gravitacional g . As equações que descreve esse movimento são dadas no nosso caso por

v y 2 = v 0 y 2 - 2 g H

v y = v 0 y - g ∆ t

Usamos o sinal de menos pois a aceleração gravitacional aponta para baixo.

Vamos usar a primeira equação. Substituindo v 0 y por v 0 s e n α

v y 2 = v 0 s e n α 2 - 2 g H

Como a · b 2 é igual a a 2 · b 2 , então

v y 2 = v 0 2 s e n 2 α - 2 g H

Tirando a raiz dos dois lados podemos eliminar o expoente de v y

v y 2 = v 0 2 s e n 2 α - 2 g H

v y = v 0 2 s e n 2 α - 2 g H

Com isso, podemos dizer que a felicidade final v é dada por v = v x , v y , ou seja

v = v 0 c o s α , v 0 2 s e n 2 α - 2 g H

Será que é isso mesmo? 🤔🤔

Passo 4

Para saber se a resposta anterior está correta, temos que pensar em uma coisa que é justamente a terceira pergunta que temos que responder.

ao atingir o aro, a bola já passou pelo seu ponto mais alto da trajetória?

Como é a trajetória da bola antes de atingir seu ponto máximo? A sua altura aumenta de forma amortecida, não é? Ou seja

Nesse intervalo, pra onde aponta a componente y do vetor velocidade? Se o vetor velocidade é tangente à trajetória então um vetor tangente a essa trajetória aponta para cima, correto?

Mas como vamos fazer uma cesta se a bola está indo para cima?? 🤔🤔

Para fazermos a cesta, a bola deve cair dentro dela, ou seja, o movimento em y deve apontar para baixo.

E isso só acontece depois que a bola atinge sua altura máxima, portanto a resposta é “SIM! ao atingir o aro, a bola já passou pelo seu ponto mais alto da trajetória”.

Logo, a componente y de v deve apontar para baixo, ou seja, deve ser negativa!

Logo a resposta correta para o item anterior é

v = v 0 c o s α , - v 0 2 s e n 2 α - 2 g H

Agora sim! Entendeu tudo?

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

a) ∆ t = d v 0 c o s α

b) v = v 0 c o s α , - v 0 2 s e n 2 α - 2 g H

c) Sim.

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