Uma bola de neve de 1,5   k g é lançada de um penhasco de 12,5   m de altura. A velocidade inicial da bola de neve é de 14,0   m / s , 41,0   ° acima da horizontal. ( a ) Qual é o trabalho realizado sobre a bola de neve pela força gravitacional durante o percurso até um terreno plano, abaixo do penhasco? ( b ) Qual é a variação da energia potencial do sistema bola-de-neve Terra durante o percurso? c ) Se a energia potencial gravitacional é tomada como sendo nula na altura do penhasco, qual é o seu valor quando a bola de neve chega ao solo?

Passo 1

Oiie, tudo bem?

O enunciado descreve a situação de um lançamento oblíquo. Algum personagem desconhecido que está no topo de um penhasco à uma altura de 12,5   m lança uma bolinha de neve com massa 1,5   k g obliquamente com um ângulo de 41,0 ° com a horizontal, como o seguinte esquema

A alternativa a ) nos pede para calcular o trabalho realizado pela força gravitacional para chegarmos até a base do penhasco após o lançamento oblíquo. Podemos fazer isso considerando o teorema de variação da energia cinética como

Δ K   =   W

E, através deste resultado, temos que a alternativa b ) é obtida diretamente através da expressão

W = - Δ U

Até aqui consideramos como referencial de potencial nulo a base do penhasco, em h = 0 , agora no entanto, a alternativa c ) pede com que mudemos o nosso referencial e tomemos como potencial nula a altura h = 12,5   m . Consegue imaginar que tipo de diferença isso irá causar nos valores? Vem comigo!

Passo 2

Temos que a velocidade tem uma componente em x e outra em y . A componente em x é constante, já que a única força que atua neste sistema é a força gravitacional puxando a bolinha para baixo, sendo assim, não há variação da energia cinética na horizontal. A componente vertical, no entanto, varia e precisamos estimar esta variação se quisermos obter o trabalho realizado!

A componente vertical da velocidade pode ser obtida analisando o seguinte triângulo retângulo

A hipotenusa deste triângulo é dada pelo módulo da velocidade inicial como | v → | = 14,0   m / s , e portanto, a componente vertical pode ser obtida como

s e n ( 41,0 ° ) = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a = v y | v → |

De forma que temos o seguinte valor para a componente vertical

v y = 14,0   s e n ( 41,0 ° ) = 9,2   m / s

Maravilha! Com isso temos meio caminho andado! Pois agora, temos a parte da energia cinética que realmente irá variar devido ao trabalho da força! No entanto, precisamos obter a velocidade com a qual a bola de neve chegará ao chão! Tem alguma ideia de como fazer isso? Vem comigo!

Passo 3

A primeira coisa a se notar é que, como não temos forças dissipativas, após lançar a bolinha para cima ela irá chegar a uma altura máxima quando irá parar, quando voltar a cair na altura h = 12,5   m ela estará com a mesma velocidade inicial com a qual começou a subir, portanto, a variação da energia cinética neste intervalo é nula. E, só precisamos considerar os instantes posteriores!

Agora, do topo do penhasco até o chão, temos um deslocamento de h = 12,5   m e temos também uma aceleração constante de 9,8   m / s 2 . A velocidade inicial é a componente vertical v y = 9,2   m / s . E, portanto, podemos utilizar Torricelli para obter a velocidade final

v f 2 = v 0 2 + 2 g h = ( 9,2   m / s ) 2 + 2 ( 9,8 m / s 2 ) ( 12,5   m )

Ou seja, nossa velocidade final é

v f = 18,2   m / s

Calculando então a variação da energia cinética, temos que

Δ K = 1 2 m v f 2 - 1 2 m v 0 2 = 1 2 ( 1,5   k g ) ( 18,3   m / s ) 2 - 1 2 ( 1,5   k g ) ( 9,2   m / s ) 2

Que resulta em

Δ K = 248,4   J   -   63,5   J   =   184,9   J

Portanto, pelo teorema da energia cinética, temos que

W = 184,9   J

Agora vamos utilizar esta informação para encontrar a próxima alternativa! Bora!

Passo 4

Como a força gravitacional é uma força conservativa, temos que

W = - Δ U

Nós obtivemos o trabalho na alternativa anterior como W = 184,9   J , e portanto, temos que

Δ U = - W = - 184,9   J

Vamos trabalhar agora com a alternativa c ) . Vem comigo!

Passo 5

A alternativa c ) é uma mudança de referencial, agora iremos tomar que a energia potencial U = 0 está relacionada a altura h = 12,5   m . No entanto, mudar o referencial não deveria mudar a variação da energia potencial. Portanto, temos que

Δ U = - 184,9   J

Usando que

Δ U = U f - U i

O sistema se inicia no topo do penhasco, que agora está relacionado a uma energia potencial U i = 0 , portanto, temos que

Δ U = U f = - 184,9   J

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

  ( a )   W = 184,9   J   ( b )   Δ U = - 184,9   J   ( c )   U f = - 184,9 J

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