Q 6 . Uma bola é lançada para o alto a partir da origem de um sistema cartesiano O x y . A magnitude do vetor velocidade inicial é v 0 e o ângulo de lançamento é θ . Quando a bola atinge a altura h = 4   m , como na figura, o vetor velocidade da bola é v → = 12 i ^ - 8,0 j ^ , com unidades no S I . Considerando a resistência do ar desprezível, a distância horizontal ( D ) no primeiro choque da bola com o solo, a partir da origem, medida em metros, é:

Passo 1

Vem comigo para gente resolver esse problema juntos!

Temos um caso de cinemática em duas direções, assim temos as seguintes informações para direção x e y .

Direção x :

a x = 0

v x t = v 0 x

x t = x 0 + v 0 x t

E para a direção y , temos:

a y = - g

v y t = v 0 y - g t

y t = y 0 + v 0 y t - g t 2 2

A partir delas vamos encontrar D . Para isso vamos usar a terceira equação da direção x , e como a bola parte da origem temos que x 0 = 0 , assim:

D = v 0 x t

Mas como não temos aceleração em x a velocidade é constante e pelo o que o enunciado deu sobre v → , temos que v 0 x = 12   m / s

Então só precisamos achar t é o tempo que a bola leva até encostar no chão, que é igual ao tempo de subida da bola mais o de descida.

Passo 2

Para encontrar o tempo total, vamos primeiro descobrir a altura máxima H que a bola atinge.

O enunciado nos diz que em uma altura h = 4   m a bola tem velocidade igual a - 8   m / s na direção y .

Se analisarmos o movimento que a bola faz partindo de H até o chão, temos que a velocidade inicial v 0 y = 0 , e já sabendo a velocidade v y em h , podemos achar o tempo que a bola leva nesse percurso. Temos que:

v y = v 0 y - g t

⇒ - 8 = 0 - 10 t

⇒ t = 0,8   s

Então a bola leva 0,8   s para percorrer uma distância entre o ponto H e h .

Passo 3

Sabendo o tempo que a bola leva para percorrer essa distância, podemos achar quanto ela vale. Vamos usar a equação da posição para direção y , temos:

y t = y 0 + v 0 y t - g t 2 2

Sabendo que a posição y é igual a h , que y 0 é igual a H , que a velocidade inicial é v 0 y = 0 e que t = 0,8   s , temos:

h = H + 0 - 10 0,8 2 2

⇒ 4 = H - 3,2

Com isso temos que:

H = 7,2   m

Essa é a altura máxima que a bola atinge.

Passo 4

Vamos então agora considerar o percurso de H = 7,2   m até o chão 0   m , usando a equação da posição na direção y , temos:

y t = y 0 + v 0 y t - g t 2 2

⇒ 0 = H + 0 - 10 t 2 2

⇒ 0 = 7,2 + 0 - 10 t 2 2

⇒ 5 t 2 = 7,2

Com isso temos que:

t = 1,2   s

Esse é o tempo que a bola leva de H até o chão (ou tempo de descida), então o tempo total (subida + descida) é o dobro disso, logo:

t t = 2,4   s

Passo 5

Agora podemos achar a distância D percorrida pela bola, temos:

D = v 0 x t

⇒ D = 12 ( 2,4 )

⇒ D = 28,8   m

E com isso fechamos a questão!

Resposta

D = 28,8   m

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