Exercícios Resolvidos de Lançamento Oblíquo

UFRJ-Física 1-1ª Prova-2012.2

Um projétil é lançado com velocidade v 0 formando um ângulo α com a horizontal. O ponto de lançamento está localizado a uma altura h acima do solo. A figura mostra o sistema de referencia X O Y fixo, que está localizado no solo e tem eixo vertical O Y alinhado verticalmente com o ponto de lançamento. De acordo com este referencial, pressupondo que a resistência do ar é desprezível e que a Terra é um referencial Inercial:

a   Escreve os vetores posição r t e velocidade v ( t ) , como funções do tempo t , usando os unitários i ^ e j ^ dos eixos O X e O Y , respectivamente, indicados na figura;

b   Calcule o tempo que o projétil leva para atingir a altura máxima;

c   Calcule o tempo de vôo do projétil.

d   Determine, quando o projétil toca o solo, o módulo da sua velocidade v S .

Passo 1

Vamos começar o problema escrevendo os dados do enunciado

D a d o s v 0 α S 0 y = h S 0 x = 0 a = - g j ^

Isso vai servir para conferirmos depois se as respostas estão de acordo com os dados do enunciado.

A gravidade é negativa, porque ela é para baixo, lembra? Cuidado com os sinais!!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a   Para escrevermos os vetores posição e velocidade, devemos achar a posição e velocidade ao longo do tempo do movimento ao longo de x e ao longo de y .

No eixo x temos um Movimento Uniforme.

No eixo y , temos um lançamento vertical, que neste caso é um lançamento vertical para cima.

A primeira coisa a fazer é encontrar v 0 x e v 0 y

Usando a “regra do COlado, SEparado” vamos ter

v x = v 0 x = v 0 cos α = v 0 cos α

v 0 y = v 0 sen α = v 0 sen α

Ambos são positivos, porque a velocidade está para direita e para cima.

Passo 3

Vamos agora escrever as equações da posição pelo tempo, começando pelo movimento ao longo de x

S x = S 0 x + v x t

S x = 0 + v 0 . cos α . t

S x = v 0 . cos α . t

Passo 4

Para o movimento ao longo de y

S y = S 0 y + v 0 y t + a t 2 2

S y = h + v 0 . sen α . t - g t 2 2

Passo 5

Lembra como escrevemos esse vetor agora?

Ele fica:

r t = S x i ^ + S y j ^

r t = v 0 cos α t i ^ + h + v 0 sen α t - g t 2 2 j ^

Passo 6

Vamos agora escrever as equações da velocidade pelo tempo, começando de novo pelo movimento ao longo de x , como o movimento é uniforme temos que:

v x = v 0 x

Logo,

v x = v 0 . cos α

Passo 7

Para o movimento acelerado ao longo de y

v y = v 0 y + a t

v y = v 0 sen α - g t

Passo 8

O vetor velocidade representado por unitários fica da seguinte forma:

v t = v x i ^ + v y j ^

v t = v 0 cos α i ^ + v 0 sen α - g t j ^

Passo 9

b   Ele quer o tempo que o projétil gasta para atingir a altura máxima. Isso vai acontecer quando a velocidade em y é zero. Então devemos fazer

v y = 0

v 0 . sen α - g . t m á x = 0

t m á x = v 0 . sen α g

Passo 10

c   O tempo de vôo vai ser o tempo que ele demora para chegar ao chão. O que isso quer dizer?

Que o valor da posição na vertical é zero.

S y = 0

S y = h + v 0 sen α t - g t 2 2 = 0

Resolvendo a equação de segundo grau

t v ô o = - v 0 . sen α ± v 0 . sen α 2 - 4 - g / 2 h - 2 g 2

t v ô o = v 0 sen α ± v 0 sen α 2 + 2 g h g

Como o tempo de vôo deve ser positivo, e o valor dentro da raiz é maior que v 0 . sen α

t v ô o = v 0 sen α + v 0 sen α 2 + 2 g h g

Passo 11

d   Para acharmos o módulo da sua velocidade devemos achar cada componente quando o tempo for igual ao tempo de vôo. Então

v y = v 0 sen α - g v 0 . sen α + v 0 . sen α 2 + 2 . g . h g

v y = v 0 . sen α - v 0 . sen α - v 0 . sen α 2 + 2 . g . h

v y = v 0 . sen α 2 + 2 . g . h

v x = v 0 . cos α

Passo 12

Agora que sabemos o valor de cada componente da velocidade podemos fazer módulos dela

v S 2 = v y 2 + v x 2

v S 2 = v 0 . sen α 2 + 2 . g . h 2 + v 0 . cos α 2

v S 2 = v 0 2 . sen 2 α + 2 . g . h + v 0 2 . cos 2 α

Lembrando que

sen 2 α + cos 2 α = 1

v S 2 = v 0 2 sen 2 α + cos 2 α + 2 . g . h

v S = v 0 2 + 2 . g . h

Resposta

a   r t = v 0 cos α t i ^ + h + v 0 sen α t - g t 2 2 j ^ ;

v t = v 0 cos α i ^ + v 0 sen α - g t j ^

b   t m á x = v 0 sen α g

c   t v ô o = v 0 . sen α + v 0 . sen α 2 + 2 . g . h g

d   v S = v 0 2 + 2 . g .   h

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