Um projétil é lançado com velocidade v → 0 formando um ângulo α com a horizontal. O ponto de lançamento está localizado a uma altura h acima do solo. A figura mostra o sistema de referencia X O Y fixo, que está localizado no solo e tem eixo vertical O Y alinhado verticalmente com o ponto de lançamento. De acordo com este referencial, pressupondo que a resistência do ar é desprezível e que a Terra é um referencial Inercial:

a   Escreve os vetores posição r → t e velocidade v → ( t ) , como funções do tempo t , usando os unitários i ^ e j ^ dos eixos O X e O Y , respectivamente, indicados na figura;

b   Calcule o tempo que o projétil leva para atingir a altura máxima;

c   Calcule o tempo de vôo do projétil.

d   Determine, quando o projétil toca o solo, o módulo da sua velocidade v S .

Passo 1

Vamos começar o problema escrevendo os dados do enunciado

D a d o s v 0 α S 0 y = h S 0 x = 0 a = - g j ^

Isso vai servir para conferirmos depois se as respostas estão de acordo com os dados do enunciado.

A gravidade é negativa, porque ela é para baixo, lembra? Cuidado com os sinais!!

Passo 2

a   Para escrevermos os vetores posição e velocidade, devemos achar a posição e velocidade ao longo do tempo do movimento ao longo de x e ao longo de y .

No eixo x temos um Movimento Uniforme.

No eixo y , temos um lançamento vertical, que neste caso é um lançamento vertical para cima.

A primeira coisa a fazer é encontrar v 0 x e v 0 y

Usando a “regra do COlado, SEparado” vamos ter

v x = v 0 x = v 0 ⋅ cos ⁡ α = v 0 cos ⁡ α

v 0 y = v 0 ⋅ sen ⁡ α = v 0 sen ⁡ α

Ambos são positivos, porque a velocidade está para direita e para cima.

Passo 3

Vamos agora escrever as equações da posição pelo tempo, começando pelo movimento ao longo de x

S x = S 0 x + v x t

S x = 0 + v 0 . cos ⁡ α . t

S x = v 0 . cos ⁡ α . t

Passo 4

Para o movimento ao longo de y

S y = S 0 y + v 0 y t + a t 2 2

S y = h + v 0 . sen ⁡ α . t - g t 2 2

Passo 5

Lembra como escrevemos esse vetor agora?

Ele fica:

r → t = S x i ^ + S y j ^

r → t = v 0 cos ⁡ α t i ^ + h + v 0 sen ⁡ α t - g t 2 2 j ^

Passo 6

Vamos agora escrever as equações da velocidade pelo tempo, começando de novo pelo movimento ao longo de x , como o movimento é uniforme temos que:

v x = v 0 x

Logo,

v x = v 0 . cos ⁡ α

Passo 7

Para o movimento acelerado ao longo de y

v y = v 0 y + a t

v y = v 0 sen ⁡ α - g t

Passo 8

O vetor velocidade representado por unitários fica da seguinte forma:

v → t = v x i ^ + v y j ^

v → t = v 0 cos ⁡ α i ^ + v 0 sen ⁡ α - g t j ^

Passo 9

b   Ele quer o tempo que o projétil gasta para atingir a altura máxima. Isso vai acontecer quando a velocidade em y é zero. Então devemos fazer

v y = 0

v 0 . sen ⁡ α - g . t m á x = 0

t m á x = v 0 . sen ⁡ α g

Passo 10

c   O tempo de vôo vai ser o tempo que ele demora para chegar ao chão. O que isso quer dizer?

Que o valor da posição na vertical é zero.

S y = 0

S y = h + v 0 sen ⁡ α t - g t 2 2 = 0

Resolvendo a equação de segundo grau

t v ô o = - v 0 . sen ⁡ α ± v 0 . sen ⁡ α 2 - 4 - g / 2 h - 2 g 2

t v ô o = v 0 sen ⁡ α ± v 0 sen ⁡ α 2 + 2 g h g

Como o tempo de vôo deve ser positivo, e o valor dentro da raiz é maior que v 0 . sen ⁡ α

t v ô o = v 0 sen ⁡ α + v 0 sen ⁡ α 2 + 2 g h g

Passo 11

d   Para acharmos o módulo da sua velocidade devemos achar cada componente quando o tempo for igual ao tempo de vôo. Então

v y = v 0 sen ⁡ α - g v 0 . sen ⁡ α + v 0 . sen ⁡ α 2 + 2 . g . h g

v y = v 0 . sen ⁡ α - v 0 . sen ⁡ α - v 0 . sen ⁡ α 2 + 2 . g . h

v y = v 0 . sen ⁡ α 2 + 2 . g . h

v x = v 0 . cos ⁡ α

Passo 12

Agora que sabemos o valor de cada componente da velocidade podemos fazer módulos dela

v S 2 = v y 2 + v x 2

v S 2 = v 0 . sen ⁡ α 2 + 2 . g . h 2 + v 0 . cos ⁡ α 2

v S 2 = v 0 2 . sen 2 ⁡ α + 2 . g . h + v 0 2 . cos 2 ⁡ α

Lembrando que

sen 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ α = 1

v S 2 = v 0 2 sen 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ α + 2 . g . h

v S = v 0 2 + 2 . g . h

Resposta

a   r → t = v 0 cos ⁡ α t i ^ + h + v 0 sen ⁡ α t - g t 2 2 j ^ ;

v → t = v 0 cos ⁡ α i ^ + v 0 sen ⁡ α - g t j ^

b   t m á x = v 0 sen ⁡ α g

c   t v ô o = v 0 . sen ⁡ α + v 0 . sen ⁡ α 2 + 2 . g . h g

d   v S = v 0 2 + 2 . g .   h

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que o ângulo inicial α 0 da Figura 3.26 seja 42,0 ° e que d se
Galileu mostrou que, se os efeitos da resistência do ar são ignorados,
Dentro do carro, um motorista atira verticalmente para cima um ovo, qu
Os esquiadores experientes costumam dar um pequeno salto antes de cheg