Um canhão, posicionado sobre um terreno completamente plano, dispara um projétil com um velocidade inicial de módulo v 0 = 100   m / s fazendo um ângulo de 60 ° com a horizontal. Considerando a posição incial do canhão como origem do sistema de coordenadas e a aceleração da gravidade g = 10,0   m / s 2 determine:

a ) O tempo total de voo do projétil.

b ) O vetor posição do projétil quando o mesmo atinge sua altura máxima.

c ) O vetor velocidade quando o mesmo atinge o solo.

d ) Considere agora que o projétil deva atingir um alvo que está a uma distância de 500   m do canhão. Qual deve ser o ângulo de tiro para que o projétil com velocidade inicial de módulo v 0 = 100   m / s possa atingir o alvo?

Passo 1

Podemos observar que estamos lidando com um lançamento oblíquo. Desse modo, podemos analisar o movimento em cada componente separadamente. Vemos que:

Em x , temo sum movimento uniforme, ou seja, com velocidade constante.

Em y , temos um movimento uniformemente variado, ou seja com aceleração constante.

Vamos agora separar os dados que foram fornecidos no enunciado:

D a d o s v 0 = 100   m / s θ = 60 ° x 0 = 0 y 0 = 0 g = 10   m / s 2

Passo 2

a )

Para determinar o tempo de voo, vamos analisar o movimento em y , pois sabemos que ao atingir o solo, o projétil terá a posição y = 0 . Por se tratar de um movimento uniformemente variado, temos:

y = y 0 + v 0 y . t + 1 2 . a . t 2

A velocidade inicial v 0 y será a componente y da velocidade, ou seja, v 0 . sen ⁡ θ . A aceleração da gravidade, por apontar para baixo, será negativa. Tendo em vista que meu eixo está colocado de modo que para cima y seja positivo. Temos então a seguinte equação de movimento:

y = 0 + 100 . sen ⁡ 60 ° . t + 1 2 . - 10 . t 2

y = 50 . 3 . t - 5 . t 2

Queremos saber o tempo em que y = 0 , teremos então:

0 = 50 . 3 . t - 5 . t 2

50 . 3 . t = 5 . t 2

t = 10 3 ≈ 17,3   s

Passo 3

b )

Para determinar o vetor posição do projétil, quando este está em sua altura máxima, devemos encontrar as coordenadas desse ponto.

Vamos começar analisando o movimento em y , pois sabemos que ao atingir a altura máxima, a velocidade em y é zero, podemos assim encontrar o tempo, não é mesmo?

v y = v 0 y + a . t

v y = 50 . 3 - 10 . t

Quando v y = 0 , temos:

0 = 50 . 3 - 10 . t

50 . 3 = 10 . t

t = 5 . 3 ≈ 8,65   s

OBS: Perceba que o tempo para atingir a altura máxima, nesse caso é metade do tempo de voo do projétil. Se pensarmos um pouco na equação do movimento em y , vemos que se trata de uma parábola, ou seja, ela é simétrica em relação ao ponto de máximo. Mas nem sempre isso é válido, se por exemplo, o canhão não estiver em um terreno plano, estaremos lidando com pontos não simétricos da parábola.

Passo 4

Agora que temos o tempo, podemos determinar a posição. Primeiro em y , pois já conhecemos a equação de movimento nesse eixo:

y = 50 . 3 . t - 5 . t 2

Para t = 8,65   s , temos:

y = 50 . 3 .   8,65 - 5 .   8,65 2

y = 375   m

Em x , por se tratar de um movimento uniforme, temos a seguinte equação de movimento:

x = x 0 + v 0 x . t

A velocidade inicial v 0 x será a componente x da velocidade inicial, ou seja, v 0 . cos ⁡ 60 ° , teremos então:

x = 0 + 100 . 1 2   . t

x = 50 . t

Para t = 8,65   s , teremos:

x = 50 .     8,65 = 432,5   m  

Portanto, o vetor posição do projétil quando este atinge a altura máxima, é:

r → = 432,5   i ^ + 375   j ^   m

Passo 5

c )

Para determinar o vetor velocidade quando o projétil atinge o solo, devemos achar sua velocidade em cada eixo para t = 17,3   s , que é o tempo em que ele atinge o solo. Vamos começar por y :

v y = 50 . 3 - 10 . t

Para t = 17,3   s , temos:

v y = - 86,4   m / s

Em x , por ser um movimento uniforme, sua velocidade será sempre v 0 x = 100 . cos ⁡ 60 ° = 50   m / s . Ou seja, teremos:

v x = 50   m / s

O vetor velocidade será então:

v → = [ 50   i ^ + 86,4   - j ^ ]   m / s

Passo 6

d )

Para determinar o ângulo para que a situação descrita ocorra, precisamos montar as equações de movimento para o novo ângulo, teremos então:

Em y :

y = 100 . sen ⁡ θ . t - 5 . t 2

Em x :

x = 100 . cos ⁡ θ . t

Agora que temos as equações, vamos pensar nas condições que o problema impõe. Temos que o projétil deve percorrer 500   m em x durante o tempo de voo.

Então, vamos primeiro achar o tempo de voo em função de θ , ou seja o tempo quando y = 0 :

0 = 100 . sen ⁡ θ . t - 5 . t 2

t = 20 . sen ⁡ θ

Agora, precisamos que em t = 20 . sen ⁡ θ , o projétil percorra 500   m em x , então, vamos lá!

x = 100 . cos ⁡ θ . t

500 = 100 . cos ⁡ θ . ( 20 . sen ⁡ θ )

cos ⁡ θ . sen ⁡ θ = 1 4  

Podemos substituir cos ⁡ θ . sen ⁡ θ por 1 2 . sen ⁡ 2 θ , teremos então:

1 2 . sen ⁡ 2 θ = 1 4

sen ⁡ 2 θ = 1 2

Então, teremos que 2 θ pode assumir os seguintes valores:

2 θ = 30 °   o u   150 °

θ = 15 °   o u   75 °

Resposta

a ) t = 10 3 ≈ 17,3   s

b ) r → = 432,5   i ^ + 375   j ^   m

c ) v → = [ 50   i ^ + 86,4   - j ^ ]   m / s

d ) θ = 15 °   o u   75 °

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