Você tem um estilingue que arremessa projéteis a uma velocidade de 15   m / s , e pretende atingir alguns alvos com esse estilingue. Assuma que g = 10   m / s 2 .

(a) Qual a distância horizontal máxima que você pode atingir com o seu projétil, assumindo que você atira o projétil desde o solo, e que o alvo também está no solo, na mesma altura do estilingue?

(b) Você quer arremessar o seu projétil (digamos, um “angry bird”) e atingir um alvo (digamos, um porquinho) que se encontra a uma distância de 15   m na horizontal, e a uma altura de 5   m na vertical, como indicado na Figura. Encontre a equação que determina o valor de tan ⁡ θ - a tangente do ângulo com o qual você deverá inclinar o seu estilingue. ( Dica: lembre-se que 1 / cos 2 ⁡ θ =   1 + tan 2 ⁡ θ ).

(c) Agora, considere que entre o seu estilingue e o alvo existe um obstáculo que impede que você lance os projéteis com uma inclinação menor que 60°, ou seja, você só pode lançar projéteis com ângulos θ > 60 ° . Qual é o valor de tan ⁡ θ que permite que você atinja o seu alvo?

Passo 1

(a)

As distâncias horizontal e vertical são dadas por:

x = v 0 cos ⁡ θ . t

y = v 0 sen ⁡ θ . t - 1 2 g t 2

Podemos unir as duas equações eliminando o parâmetro t que não temos pelo enunciado. Fica assim:

x = v 0 cos ⁡ θ . t

t = x v 0 cos ⁡ θ

Substituindo na segunda equação:

y = v 0 sen ⁡ θ . x v 0 cos ⁡ θ - 1 2 g x v 0 cos ⁡ θ 2

y = x . tan ⁡ θ - g x 2 2 v 0 2 1 cos 2 ⁡ θ

Fazendo a substituição que o enunciado deu como dica 1 / cos 2 ⁡ θ =   1 + tan 2 ⁡ θ , temos:

y = x . tan ⁡ θ - g x 2 2 v 0 2 ( 1 + tan 2 ⁡ θ )

Como o alvo está no solo, y = 0 , então:

x . tan ⁡ θ - g x 2 2 v 0 2 1 + tan 2 ⁡ θ = 0

x tan ⁡ θ - g x 2 v 0 2 1 + tan 2 ⁡ θ = 0

Temos então duas soluções, x = 0 , que não é a solução que queremos né? E temos também

tan ⁡ θ - g x 2 v 0 2 1 + tan 2 ⁡ θ = 0

x   = 2 v 0 2 g . tan ⁡ θ 1 + tan 2 ⁡ θ

Queremos a distância máxima, podemos acha-la se a tangente for máxima, ou seja, quando tan ⁡ θ = 1 , ( θ = 45 ° ), temos que a distância máxima é então:

x m á x = 2 v 0 2 g . 1 1 + 1

x m á x = v 0 2 g

x m á x = 22,5   m

Passo 2

(b)

Basta utilizar a equação que encontramos no item anterior, mas usando os dados: y = 5   m , x = 15   m , v 0 = 15   m / s e g = 10   m / s 2 , temos:

y = x . tan ⁡ θ - g x 2 2 v 0 2 ( 1 + tan 2 ⁡ θ )

5 = 15 tan ⁡ θ - 10 × 15 2 2 × 15 2 ( 1 + tan 2 ⁡ θ )

tan 2 ⁡ θ - 3 tan ⁡ θ + 2 = 0

Passo 3

(c)

Utilizando a equação do item anterior, se chamarmos tan ⁡ θ de a , teremos:

a 2 - 3 a + 2 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, achamos duas soluções.

a = 1   o u   a = 2

Ou seja, tan ⁡ θ 1 = 1 e tan ⁡ θ 2 = 2 . O ângulo da primeira solução é 45°, portanto menor que o ângulo mínimo especificado na questão. O ângulo correspondente à segunda solução é maior do que 60°, já que tan ⁡ 60 ° = 3 < 2 . Portanto, temos que tan ⁡ θ = 2 .

Resposta

(a) x m á x = 22,5   m

(b) tan 2 ⁡ θ - 3 tan ⁡ θ + 2 = 0

(c) tan ⁡ θ = 2

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