Darlene é uma motociclista de circo. Como clímax de seu show, ela larga de uma rampa inclinada de θ , salta um fosso de largura L e pousa em um rampa mais elevada (altura h ) do outro lado . a   Para uma dada altura h , encontre a mínima rapidez de largada v m i n necessária para ela realizar o salto com sucesso. b Quanto vale v m i n   para L = 8,0   m , θ = 30 ° e h = 4,0   m ?

c   Mostre que, independente da rapidez de largada, a altura máxima da plataforma é h < L . t g ( θ ) . Interprete fisicamente este resultado. (Despreze a resistência do ar e trate a motoqueira e a moto como se fossem uma única partícula.)

Passo 1

a   O problema quer saber a velocidade mínima com que é possível realizar esse salto. Acharemos v m í n se acharmos a velocidade inicial a qual em um instante t a moto tenha percorrido L em x e esteja na altura h .

Pois se a moto tiver em uma altura menor que h significa que ela não consegue fazer o salto e se altura for maior que h ela não estava na velocidade mínima possível.

Passo 2

Vamos escrever a equação da posição no eixo x

r x = 0 + v x . t

Lembrando que

v x = v m í n . cos ⁡ θ

Queremos o instante de tempo t no qual a motociclista percorre a distância L no eixo x

L = v m í n . cos ⁡ θ . t  

t = L v m í n . cos ⁡ θ

Passo 3

Agora vamos estudar o movimento no eixo y , escrevendo a equação da posição temos:

r y = 0 + v y . t - g . t 2 2

Como

v y = v m í n . s e n θ

Agora substituímos r y = h e v y

h = v m í n . s e n θ . t - g . t 2 2

Como falamos no “passo 1” para achamos a velocidade mínima é preciso que o instante de tempo t que a moto alcance a distância L em x ela esteja na posição h em y .

Como vimos que precisamos que isso ocorra no mesmo instante de tempo t , basta substituirmos o valor de t que achamos no “passo 2” para descobrirmos v m í n

h = v m í n . s e n θ . L v m í n . cos ⁡ θ - g 2 . L v m í n . cos ⁡ θ 2

h = t g θ . L - g . L 2 2 . v m í n 2 . cos 2 ⁡ θ

h - t g θ . L . 2 . v m í n 2 . cos 2 ⁡ θ = - g . L 2

2 . v m í n 2 . cos 2 ⁡ θ = - g . L 2 h - L . t g θ

v m í n = L cos ⁡ θ . g 2 . ( L . t g θ - h )

Passo 4

b   Terminamos de achar uma equação para v m í n , então basta substituir os valores dados

v m í n = 8 cos ⁡ 30 ° . 9,8 2 8 . t g 30 ° - 4

v m í n = 16 3 . 4,9 ( 8.0,557 - 4 )

v m í n = 26   m / s  

Passo 5

c   Como raíz de um número negativo não existe no conjuto de números reais, se

h > L . t g ( θ )

Teriamos raíz de um número negativo o que não é possível. Se pensarmos no caso onde

h = L . t g ( θ )

teríamos uma divisão por zero e por isso a velocidade mínima iria tender ao infinito.

Então só é possível excutar esse salto se h < L . t g θ

Resposta

a   v m í n = L cos ⁡ θ . g 2 . ( L . t g θ - h )

b   v m í n = 26   m / s

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