Um canhão antitanque está localizado na borda de um platô a 60   m acima de uma planície, conforme a figura abaixo. A equipe do canhão avista um tanque inimigo parado na planície à distância de 2,2   k m do canhão. No mesmo instante, a equipe do tanque avista o canhão e começa a se mover em linha reta para longe deste. com aceleração de 0,9   m / s 2 . O canhão antitanque dispara um projétil com velocidade de disparo de 240   m / s e com ângulo de 10 ° acima da horizontal.

a ) Quanto tempo a equipe do canhão teria de esperar antes de atirar, se quiser acertar o tanque?

b ) Com que ângulo o projétil atinge o tanque?

Passo 1

Eaew, belezinha?

Nós temos aqui uma questão de lançamento oblíquo, com um pequeno extra de cinemática, beleza? Saca só, temos um canhão que está à 60   m de altura em um referencial, que atira um projétil com uma velocidade inicial | v → 0 | = 240   m / s com uma inclinação de 10   ° , o objetivo é atingir um tanque está inicialmente à 2,2   k m de distância. O tanque, no entanto, está se distanciando do canhão com uma aceleração de 0,9   m / s 2 , sendo assim, para atingir o tanque o atirador terá que calcular o instante correto de tempo em que deve disparar! O objetivo da questão é calcular exatamente este instante de tempo! E, em seguida, obter qual o ângulo com o qual o projétil atinge o tanque! Como fazemos isso?

Vamos tentar utilizar as equações horárias da cinemática em cada direção do movimento, e calcular o alcance através da equação da trajetória, através destes resultados também podemos obter o tempo de voo e a velocidade final com que o projétil atinge o tanque, isso nos possibilita calcular o ângulo, belezinha? Vem comigo!

Passo 2

Para começar vamos analisar o movimento do projétil nas duas direções! Primeiro, temos que na vertical, a força peso dada por

P → = - m g y ^

sempre aponta para baixo e é a única força atuando nesta situação. Portanto, na vertical, temos o movimento de uma partícula que tem aceleração constante g → = - 10   m / s 2   y ^ . Portanto, a equação horária é dada por

y → ( t ) = y 0 → + v 0 y → t - 1 2 [ 10 ] t 2 y ^

mas quem são y 0 → e v 0 y → ? O vetor posição inicial é dado simplesmente pela altura da planície em um referencial em que a base da planície é a origem, portanto, temos que

y 0 → = 60   m   y ^

A velocidade inicial é um pouco mais complicada! Note que a velocidade inicial v 0 → é um vetor que faz um ângulo de 10 ° com a horizontal, portanto, nós formamos o seguinte triângulo retângulo

Portanto, temos que a velocidade inicial vertical é dada por

v 0 y → = | v 0 → | s e n ( θ )

em que θ = 10 ° e | v 0 → | = 240   m / s Ou seja, verticalmente a bala de canhão se move obedecendo que

y → ( t ) = 60   y ^ + 240   s e n ( 10 ° )   t   y ^ - 5 t 2 y ^

Vamos fazer agora a análise do movimento na horizontal! Saca só!

Passo 3

Diferentemente da vertical, neste caso idealizado, não existem forças que atuam horizontalmente, portanto, não há aceleração, e a equação horária toma a forma

x → ( t ) = x 0 → + v 0 x → t

em nossa escolha de referencial temos que x 0 → = 0 → e também, pelo triângulo retângulo no passo anterior, temos que

v 0 x → = | v 0 → | c o s ( θ ) x ^

e, a equação horária toma a forma

x → ( t ) = 240   c o s ( 10 ° )   t   x ^

Em alguns exercícios é conveniente isolar o tempo em termos do vetor x → ( t ) e utilizar esta informação para escrever a equação da trajetória em conjunto com y → ( t ) . Mas, para este problema, será conveniente manter as equações desta maneira! Vamos utilizar esta expressão para calcular o alcance de nosso canhão!

Passo 4

O que é o alcance em um lançamento oblíquo? É o quão longe o projétil consegue ir antes de cair novamente no chão, ou seja, qual o valor de x → ( t ) quando y → ( t ) = 0 → ? Se usarmos a nossa equação do vetor posição vertical para obter o instante de tempo em que isso acontece, temos que

y → ( t ) = 60   y ^ + 240   s e n ( 10 ° )   t   y ^ - 5 t 2 y ^ = 0 →

Temos um polinômio de segundo grau em t , se aplicarmos Bhaskara, temos as seguinte raízes

t ± = - 240   s e n ( 10 ° ) ± ( 240   s e n ( 10 ° ) ) 2 - 4 ( - 5 ) ( 60 ) 2 ( - 5 ) = - 240   s e n ( 10 ° ) ± 24 0 2 s e n 2 ( 10 ° ) + 1200 - 10

usando uma calculadora para facilitar a nossa vida, podemos obter que

t + = - 240   ( 0,17 ) + 57600   ( 0,03 ) + 1200 - 10 = - 40,80 + 53,52 - 10

ou, simplesmente, temos que t + = - 1,27 s , que é um valor negativo, e portanto, vamos ignorá-la, já que o tempo em geral é um valor positivo. A outra raiz será

t - = - 40,80 - 53,52 - 10 = 9,43   s

O nossa alcance será então dado pelo valor do vetor x → ( t ) em t = 9,43   s . Bora lá!

Passo 5

Usando o valor que calculamos para o tempo na equação para a posição do projétil horizontal, temos que

A → = x → ( t = 9,43 ) = 240   c o s ( 10 ° )   ( 9,43 )   x ^

aproximando o valor do cosseno, temos que

A → = 240   ( 0,98 )   ( 9,43 )   x ^ = 2217,94   m

Ou seja, nós estamos errando o tanque por aproximadamente 17,94   m . Temos que o tanque inicialmente estava em x → ( 0 ) = 2200   m   x ^ . E, nos é dito no enunciado que ele se move para longe do canhão com uma aceleração de a → = 0,9   m / s 2   x ^ . O tempo que o atirador deve esperar para atirar é o tempo que o tanque (partindo do repouso) vai levar para percorrer os 17,94   m ! Vamos calcular isso agora!

Passo 6

Como tanque parte do repouso, e tem uma aceleração constante, sua equação do movimento será

x → ( t ) = x 0 → + v 0 x → t + 1 2 [ 0,9 ] t 2 x ^

agora temos que x 0 → = 2200   m   x ^ , e também que o tanque parte do repouso, portanto v 0 x → = 0 → . Ou seja, a equação do movimento pode ser escrita como

x → ( t ) = 2200   x ^ + 0,45   t 2 x ^

Se calcularmos o tempo para que x → ( t ) = 2217,94   x ^ , temos que

2217,94   x ^ = 2200   x ^ + 0,45   t 2 x ^

Isolando t 2 , temos que

t 2 = 2217,94 - 2200,00 0,45 = 39,87

ignorando novamente o valor negativo para o tempo, temos que

t = 6,31   s

que é quanto tempo o atirador deve esperar para atirar! E, a resposta de nossa primeira alternativa! Vamos para a segunda agora!

Passo 7

Nós temos que o vetor velocidade é formado por uma combinação das suas componentes verticais e horizontais, como vimos no triângulo retângulo lá atrás! Quando o projétil atinge o tanque, nós temos um novo triângulo da seguinte forma

Portanto, precisamos calcular as componentes finais da velocidade e usar relações trigonométricas para achar o novo ângulo θ . Como o projétil não sofre influências de forças na horizontal, a sua componente horizontal da velocidade é constante, ou seja, temos que

v f x → = v 0 x → = 240   c o s ( 10 ° )   x ^

ou, aproximadamente

v f x → ≈ 235,2   m / s   x ^

A componente vertical vai precisar de uma atenção um pouco maior! Vamos trabalhar um pouquinho com ela!

Passo 8

Note que a componente vertical tem uma aceleração constante, no entanto, a aceleração é negativa até a partícula atingir a altitude máxima, e é positiva pelo resto da trajetória! O que nos dará a velocidade desejada é o segundo movimento, mas ele é um movimento da forma

v y → = - 10   t   y ^

e qual é esse tempo? É o tempo que o projétil leva da altura máxima H até atingir o tanque! Ou seja, queremos obter este tempo a partir da relação

y → ( t ) = H   y ^ - 5 t 2 y ^ = 0 →

Note que estou colocando a velocidade inicial como 0 → , isso é porque estas equações estão considerando o movimento a partir da altura máxima, ou seja, quando a partícula pára de subir no topo da trajetória! Tudo bem, mas e quem é H ??? Vamos achar ele antes de qualquer coisa!

Passo 9

Para achar o valor da altura máxima vamos ter que analisar a evolução da velocidade na subida do projétil, ou seja, a nossa velocidade é dada por

v y → = 240   s e n ( 10 ° ) - 10   t   y ^

a altura máxima pode ser obtida avaliando y → ( t ) no instante de tempo em que v → y da subida vai a zero. Portanto, igualando a equação acima à zero, temos que

t = 240   s e n ( 10 ° ) 10 ≈ 4,08   s

e, portanto, a altura máxima é tal que

y → ( t = 4,08   s ) = H = 60   y ^ + 240   s e n ( 10 ° )   ( 4,08 )   y ^ - 5 ( 4,08 ) 2 y ^

ou, simplesmente, temos que

H ≈ 143,23   m

Maravilha! Vamos usar isso para calcular a nossa velocidade final! Saca só!

Passo 10

Primeiro, precisamos obter o tempo necessário para que a seguinte relação seja verdade

y → ( t ) = H   y ^ - 5 t 2 y ^ = 0 →

usando H ≈ 143,23   m . Podemos isolar o tempo como

t 2 = 143,23 5 = ≈ 28,64

e, tirando a raiz, temos que

t ≈ 5,31   s

Portanto, a velocidade final será

v f y → = - 10   ( 5,31 )   y ^ = - 53,14   m / s   y ^

Uff… finalmente temos os dois vetores! Vamos achar o nosso ângulo agora! Bora bora!

Passo 11

Usando o triângulo retângulo que tínhamos montado anteriormente, temos que

t g ( θ ) = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e = | v f y → | | v → f x |

usando os vetores que calculamos, temos que

t g ( θ ) = 53,14 235,2 ≈ 0,22

ou seja, temos que o ângulo é

θ ≈ 0,22   r a d

ou, em graus, temos que

θ ≈ 12,94   °

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

O tempo de espera é t = 6,31   s e o ângulo é θ ≈ 12,94   ° .

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