Exercícios Resolvidos de Cascas Cilíndricas

Passo 1

O lance é esboçar o mais precisamente possível os gráficos das funções pra entender bem a região R :

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então R é a área entre as duas curvas em preto, em que 0 ≤ x ≤ 1 .

Assim, o volume do sólido todo é:

∫ 0 1 2 π x - - 2 x - x 2 d x

Perceba que tendo x = y 2 → y = ± x . Porém, como x > 0 , podemos considerar apenas a parte positiva, por isso ficamos com x - x 2 , já que no intervalo em que 0 ≤ x ≤ 1 , x ≥ x 2 .

Vamos resolver essa integral:

∫ 0 1 2 π x + 2 x - x 2 d x = 2 π ∫ 0 1 x x - x 3 + 2 x - 2 x 2 d x

2 π ∫ 0 1 x x - x 3 + 2 x - 2 x 2 d x = 2 π 2 5 x 5 2 + 4 3 x 3 2 - 1 4 x 4 - 2 3 x 3 0 1 = 49 π 30

Resposta

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