Seja S o sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas x = 6 y 2 - 24 e x = 0 em torno da reta y = 4 . Qual é o volume desse sólido?

a) ∫ - 3 3 2 π 4 - y 6 y 2 - 24   d y

b) ∫ - 2 2 2 π 4 - y 6 y 2 - 24   d y

c) ∫ - 2 2 2 π y - 4 6 y 2 - 24   d y

d) ∫ - 2 2 2 π y 4 - 6 y 2 + 24   d y

e) 2   ∫ 0 2 2 π y   6 y 2 - 24   d y

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Queremos achar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas x = 6 y 2 - 24 e x = 0 em torno da reta y = 4 . A seguir, desenhamos as curvas e a reta y = 4 :

A região limitada pelas curvas está pintada em vermelho. A reta y = 4 está em verde. Olhando para a expressão x = 6 y 2 - 24 , vemos que se trata de uma parábola “deitada” com vértice no ponto - 24 ,   0 . Além disso, a intersecção com a reta x = 0 ocorre nos pontos com y = ± 2 .

Passo 2

Para calcular o volume do sólido, usamos o método das cascas cilíndricas:

No caso do desenho acima, o volume é dado por

V = ∫ a b 2 π x   f x   d x

Podemos interpretar essa integral como sendo

V = ∫ a b 2 π ⋅ r a i o ⋅ a l t u r a ⋅ d x

Na situação do problema que queremos resolver, a rotação é feita em torno de uma reta paralela ao eixo horizontal, de modo que a integral deve ser feita na variável y :

V = ∫ a b 2 π ⋅ r a i o ⋅ a l t u r a ⋅ d y

Passo 3

Pegando uma casquinha cilíndrica horizontal, temos que

O raio é dado por

r a i o = 4 - y

Já a altura é

a l t u r a = x = 6 y 2 - 24

Como estamos olhando na região x < 0 , temos que

x = - x = 24 - 6 y 2

Assim, o volume é dado por

V = ∫ - 2 2 2 π ⋅ 4 - y ⋅ 24 - 6 y 2   d y

Ou ainda, invertendo a ordem nos dois parêntesis:

V = ∫ 2 2 2 π y - 4 6 y 2 - 24   d y

A resposta está na alternativa C 😉.

Resposta

Alternativa C.

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em