12. Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

h) y = x ,   y = 0 ,   y = 2 - x

Passo 1

Falaaa... Belezinha?

Essa questão está pedindo pra usar o método da casca pra determinar o volume do sólido de revolução, em torno do eixo x , da região limita pela curva y = x e as retas y = 0 e y = 2 - x .

Mas que método da casca é esse? É aquele da casca cilíndrica.

Com esse método vamos achar o volume do sólido a partir de algum cilindro mais genérico que esteja inscrito no sólido.

E usar a equação:

V = ∫ 2 π R   H   d R

Ta... um monte de palavra bonita, né? Mas como fazemos isso na prática?

Passo 2

Primeira coisa que vamos fazer é esboçar essas duas curvas pra achar qual é essa bendita região delimitada.

Esboçando as retas:

Vamos aproveitar e já calcular esses três pontos de intersecção. Pra isso, igualamos as equações da curva e retas, duas a duas.

Primeiro as duas primeiras retas. ( y = x e y = 0 )

y = 0

E, substituindo na equação, x = 0 .

Agora a primeira e a terceira. ( y = x e y = 2 - x )

x = 2 - x

Elevando os dois lados ao quadrado, pra ficar mais fácil de resolver:

x 2 = 2 - x 2

x = 4 - 4 x + x 2

x 2 - 5 x + 4 = 0

Resolvendo essa equação temos dois valores: x = 4   e x = 1 .

Substituindo na equação y = x , temos y = 2 e y = 1 , respectivamente.

E substituindo na equação y = 2 - x ,   temos y = - 2 e y = 1 , respectivamente.

ATENÇÃÃOO...

Repara que achamos valores diferentes ( y = 2 e y = - 2 ), maas era pra ser igual porque a gente igualou as equações. Isso acontece porque a gente elevou ao quadrado pra resolver a equação, mas fazendo isso consideramos a parte de baixo da parábola também, que seria y = - x . Então desconsideramos esse ponto.

Fica só o ponto x = 1 e y = 1 .

E, por último, a segunda e a terceira. ( y = 0 e y = x - 2 )

0 = x - 2

x = 2

Substituindo na segunda:

y = 0

Passo 3

Agora vamos fazer aparecer o tal do cilindro.

Como a rotação é em torno do eixo x , vamos tração uma “linha”, de largura d R , paralela ao eixo x ligando a curva e a reta que delimitam a área. Esse vai ser o lado do nosso cilindro.

Daí podemos já dizer quem é quem.

Como escolhemos uma paralela ao eixo x para traçar o lado do cilindro, então R = y .

E a espessura da linha é d R = d y .

Já, para H , temos que é apenas entre os valores de y = x e y = 2 - x . Mas estamos trabalhando com y , então x = y 2 e x = 2 - y . Então:

H = 2 - y - y 2

Passo 4

Agora é só jogar tudo na equação:

V = ∫ 2 π R   H   d R

V = ∫ 2 π   y   2 - y - y 2   d y  

Ahhh... mas faltam os limites de integração, né?

No final do passo 2 achamos pontos importantes. Daí podemos ver, então que y varia entre 0 e 1. Então:

V = ∫ 0 1 2 π   y   2 - y - y 2   d y

Resolvendo:

V = 2 π ∫ 0 1 2 y - y 2 - y 3   d y

V = 2 π y 2 - y 3 3 - y 4 4 0 1

V = 2 π 1 - 1 3 3 - 1 4 4 - 0 - 0 3 - 0 4

V = 2 π 1 - 1 3 - 1 4

V = 2 π 12 12 - 4 12 - 3 12

V = 2 π 5 12

V = 5 π 6

Boaaa... terminamos essa. Vamos pra próxima?

Resposta

V = 5 π 6

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em