Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação da região sombreada em torno do eixo x :

Passo 1

Eai galerinhaaa, tudo bem com vocês?

Nessa questão temos uma região no plano x y , e rotacionamos ela em torno do eixo x . A região rotacionada é a região entre as curvas:

{ y = 2   x = y 2  

Ou seja, é a região representada na figura abaixo:

O enunciado nos pede para calcular esse volume utilizando o método da casca.

Puts, mas só tô acostumado a usar o método da casca quando é rotação em torno do eixo y , que fica:

V =   ∫ a b 2 π x ⋅ f x d x

Caaalma galera!! Só precisamos fazer alguns ajustes. Já que agora a rotação é em torno do eixo x , onde na nossa expressão anterior tínhamos x vamos trocar por y . Assim, ficamos com:

V =   ∫ a b 2 π y ⋅ f y d y

Esse é o volume obtido pela rotação, em torno do eixo x , da região entre a curva f ( y ) e o eixo y . Sacaram?

Ufaa!

Vamos então montar a integral para a nossa curva e calcular o volume 😊

Passo 2

Como comentamos no passo 1 , a nossa região está limitada entre as curvas:

{ y = 2   x = y 2  

Mas isso é se a gente pensar nas funções que delimitam a região na direção do eixo y (ou seja, por cima e por baixo). Como aqui a gente inverteu, vamos ter que pensar em quem delimita a nossa região pela direita e pela esquerda?

De fato, ela é a região entre a curva x = f y = y 2 e o eixo y .

No intervalo de:

0 ≤ y ≤ 2

Assim, como pelo método das cascas:

V =   ∫ a b 2 π y ⋅ f y d y

Teremos:

V =   ∫ 0 2 2 π ⋅ y ⋅ y 2 d y

Colocando as constantes para fora:

V = 2 π ⋅ ∫ 0 2 y 3 d y

Usando que:

∫ a b y n d y = y n + 1 n + 1 a b

Vem:

V = 2 π ⋅ y 4 4 0 2

= 2 π ⋅ 2 4 4

Portanto:

V = 2 π

Prontinhoo!! Matamos mais uma questão, espero que vocês tenham gostado 😊

Resposta

2 π

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Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em