Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação da região sombreada em torno do eixo y :

Passo 1

Fala aí gente, tudo tranquilo?

Nesse exercício temos uma região no plano x y , como mostrada na figura abaixo:

É a região que está abaixo da curva:

y = f x = 9 x x 3 + 9

No intervalo:

0 ≤ x ≤ 3

Pegando essa região e rotacionando em torno do eixo y , obtemos um sólido de revolução. O enunciado nos pede para determinar o volume desse sólido utiliza o método da casca.

Vocês lembram o que diz esse método?

Basicamente, ele fala que se rotacionarmos uma região abaixo da curva f ( x ) em torno do eixo y , o volume do sólido obtido vale:

V = ∫ a b 2 π x ⋅ f x d x

Massa! Vamos então montar a nossa integral pra calcular o volume do sólido de revolução.

Passo 2

Como comentamos no passo 1 , nossa região está abaixo da curva:

y = f x = 9 x x 3 + 9

No intervalo:

0 ≤ x ≤ 3

Assim, como pelo método da casca:

V = ∫ a b 2 π x ⋅ f x d x

Temos:

V =   ∫ 0 3 2 π x ⋅ 9 x x 3 + 9 d x

Puts, e como calculamos essa integral??

Podemos usar a ideia da mudança de variáveis, fazendo:

u = x 3 + 9

⇒ d u = 3 x 2 d x

∴ x 2 d x = d u 3

Além disso, quando x = 0 :

u = 0 3 + 9 = 9

E, quando x = 3 :

u = 3 3 + 9 = 36

Substituindo na integral, e tirando as constantes para fora do integrando, temos:

V = 2 π ⋅ 9 3 ∫ 9 36 1 u d u

= 6 π ⋅ ∫ 9 36 u - 1 2 d u

Usando que:

∫ a b x n = x n + 1 n + 1 a b

Temos:

V = 6 π ⋅ 2 ⋅ u 1 2 0 36

= 6 π ⋅ 2 ⋅ 36 1 2 - 2 ⋅ 9 1 / 2

= 6 π ⋅ 2 ⋅ 6 - 2 ⋅ 3

= 6 π ⋅ 6

Portanto:

V = 36 π

E é isso galera, espero que vocês tenham acompanhado até aqui. Um abraço e até a próxima 😊

Resposta

36 π

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em