Exercícios Resolvidos de Cascas Cilíndricas

USP - Cálculo 1 - P3 2012 - 2 B

Seja R a região compreendida entre os gráficos de f x = 18 9 + x 2 e g x = x 3 para x   ϵ   [ 0,3 ] , como mostra a figura abaixo:

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno de O y .

Passo 1

Giramos em torno do eixo y . Vou tentar a integral por cascas cilíndricas, para não ter o trabalho de ter que inverter as funções e os limites de integração. Se fizermos assim, nós ficaremos com o volume sendo a rotação do gráfico azul menos a do gráfico vermelho em torno do eixo y :

∫ a b 2 π x f x d x - ∫ a b 2 π x g x d x

Os limites de integração são os mesmos, assim como as funções:

V = ∫ 0 3 2 π x 18 9 + x 2 d x - ∫ 0 3 2 π x x 3 d x

= 2 π ∫ 0 3 18 x 9 + x 2 d x - 2 π ∫ 0 3 x 2 3 d x

O primeiro termo da integral pode sofrer a seguinte substituição para ser resolvido:

u = 9 + x 2 → d u = 2 x   d x

2 π ∫ 0 3 18 x 9 + x 2 d x = 2 π ∫ 0 3 9 d u u

= 2 π 9 ln ⁡ u

= 2 π 9 ln ⁡ 9 + x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Assim, sendo a outra integral a de um polinômio normal, ficamos assim:

2 π ∫ 0 3 18 x 9 + x 2 - x 2 3 d x

= 2 π 9 ln ⁡ 9 + x 2 - x 3 9 [ 3 0

= 2 π 9 ln ⁡ 9 + 9 - 27 9 - 2 π 9 ln ⁡ 9 - 0 9

= 2 π 9 ln ⁡ 18 - 9 ln ⁡ 9 - 3

= 2 π 9 ln ⁡ 9 + 9 ln ⁡ 2 - 9 ln ⁡ 9 - 3

= 6 π 3 ln ⁡ 2 - 1

Resposta

V = 6 π 3 ln ⁡ 2 - 1   u . v .

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