12. Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo   x , das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

d) x = 2 y - y 2 ,     x = y

Passo 1

E aiiii, belezinha?? Vamos matar essa questão juntos?

Aqui está sendo pedido pra gente usar o método da casca pra determinar o volume do sólido de revolução, em torno do eixo x , da região limita pela curva x = 2 y - y 2 e pela reta x = y .

Mas que método da casca é esse? É aquele da casca cilíndrica.

Com esse método vamos achar o volume do sólido a partir de algum cilindro mais genérico que esteja inscrito no sólido.

E usar a equação:

V = ∫ 2 π R   H   d R

Ta... um monte de palavra bonita, né? Mas como fazemos isso na prática?

Passo 2

Primeira coisa que vamos fazer é esboçar essas duas curvas pra achar qual é essa bendita região delimitada.

Para x = 2 y - y 2 , temos a equação de uma parábola, certo? Maaas no eixo y .

E para x = y , temos uma reta que corta os eixos.

Vamos aproveitar e já calcular esses dois pontos de intersecção. Pra isso, igualamos as equações das curvas:

2 y - y 2 = y

y - y 2 = 0

y y - 1 = 0

Daí temos dois valores possíveis. Ou:

y = 0

E, substituindo nas equações, x = 0 .

Ou:

y - 1 = 0

y = 1

E, substituindo nas equações, x = 1 .

Passo 3

Agora vamos fazer aparecer o tal do cilindro.

Como a rotação é em torno do eixo x , vamos tração uma “linha”, de largura d R , paralela ao eixo x ligando as duas curvas. Esse vai ser o lado do nosso cilindro.

Daí podemos já dizer quem é quem.

Como escolhemos uma paralela ao eixo x para traçar o lado do cilindro, então R = y .

E a espessura da linha é d R = d y .

Já, para H , temos que é da reta até a parábola. Mas, ATENÇÃO, como o valor de x aumenta da esquerda para direita, então será “parábola menos reta”.

H = 2 y - y 2 - y

H = y - y 2  

Passo 4

Agora é só jogar tudo na equação:

V = ∫ 2 π R   H   d R

V = ∫ 2 π   y   ( y - y 2 )   d y  

Ahhh... mas faltam os limites de integração, né?

No final do passo 2 achamos os pontos de intersecção. Daí podemos ver, então que y varia entre 0 e 1. Então:

V = ∫ 0 1 2 π   y   ( y - y 2 )   d y

Resolvendo:

V = 2 π ∫ 0 1 y 2 - y 3   d y

V = 2 π y 3 3 - y 4 4 0 1

V = 2 π 1 3 - 1 4 - 0 3 - 0 4

V = 2 π 4 12 - 3 12

V = 2 π 1 12

V = π 6

Ufaaa... Acabamos essa. Bora pra próxima?

Resposta

V = π 6

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em