Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e largura. Então, escreva a integral que dá o volume do sólido de rotação dessa área em torno das retas dadas. Em, pelo menos um dos volumes deve ser usado o método das cascas cilíndricas.

3   y = x 2 - 4 x ,               y = 4 x - x 2 ,             y = 0 : e m   t o r n o   n o   e i x o   x   e   r e t a   x = 5

Passo 1

Faaaaala meu/minha consagradx!! Beleza?? Seguinte, vamos devagarinho aqui... parte por parte sobre o que a questão pede.

Primeiramente vamos esboçar a curva y = x 2 - 4 x e a curva y = 4 x - x 2 em um mesmo gráfico:

Analisando ainda mais a figura, vemos que a região delimitada entre as curvas é essa aqui ó:

Tá... Mas e esse “retângulo aproximadamente típico” que a questão pede??

Ele não é nada mais e nada menos do que um retângulo em que a altura equivale a diferença entre as duas funções e a largura é a variação do no eixo x , ou seja, Δ x . Para ficar mais fácil de entender, podemos ver:

Passo 2

Dessa forma, o volume sólido de rotação em torno do eixo x , ou seja:

É dado pela seguinte integral:

V = ∫ 0 4 π 4 x - x 2 2 d x ∴

V = π ∫ 0 4 16 x 2 d x - ∫ 0 4 8 x 3 d x + ∫ 0 4 x 4 d x ∴

V = π 1024 3 - 512 + 1024 5 ∴ V = 512 π 15

Passo 3

Agora, em torno da reta x = 5 a gente pode usar o Método das Cascas Cilíndricas (MCC) para descobrir o volume do sólido de rotação em torno dessa reta aí. Ou seja:

V M C C = 2 π ∫ 0 4 ( 5 - x ) ( 4 x - x 2 ) d x - ∫ 0 4 ( 5 - x ) ( x 2 - 4 x ) d x

Basicamente a gente multiplica a integral por 2 π (que nem a gente calcula o perímetro de uma circunferência ;D) e dentro da integral aquele termo ( 5 - x ) é pra escolher o eixo de rotação.

Mas perceba uma coisa interessante que nos vai fazer diminuir o tempo. Se

y 1 x = 4 x - x 2           e           y 2 x = x 2 - 4 x

Então:

y 1 x = y 2 - x

Logo, resolvendo a integral, temos:

V M C C = 2 π ∫ 0 4 2 5 - x 4 x - x 2 d x ∴

V M C C = 4 π ∫ 0 4 5 - x 4 x - x 2 d x ∴

V M C C = 4 π ∫ 0 4 20 x - 9 x 2 + x 3 d x ∴

V M C C = 4 π 160 - 192 + 64 ∴

V M C C = 128 π

Legal ne??? Vamos para a próxima!!

Resposta

V = 512 π 15

V M C C = 128 π

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em