Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação da região sombreada em torno do eixo x:

Passo 1

Saaalve galerinha, animam destruir essa questão comigo?

O enunciado nos diz que há uma região criada pelo limite das seguintes retas:

y = 3 ,         x = 3 - y 2             x = 3

A dúvida é: quando essa região rotacionar ao redor do eixo x, qual vai ser o volume do sólido? Vem descobri comigooo!

Passo 2

A ideia aqui é usar o método da casca que tem o objetivo de calcular o volume de uma região segundo a fórmula:

V = ∫ a b 2 π   ( r a i o   d a   c a s c a ) ( a l t u r a   d a   c a s c a )

O raio da casca vai ser a variação no eixo y, então 0 < y ≤ 3 , pois a rotação é no eixo x.

E a altura da casca é a curva f y = 3 - y 2 .

Substituindo na fórmula da casca, temos:

V = ∫ 0 3 2 π   y 3 - y 2 d y = ∫ 0 3 2 π   3 y - y 3 d y

Passo 3

E o nosso último passo vai ser resolver essa integral LINDA!

Fazendo uma simplificação para facilitar resolver a integral:

V = 2 π ∫ 0 3   3 y - y 3 d y

Integrando, teremos:

V = 2 π 3 y 2 2 - y 4 4 0 3 = 2 π 3 ( 3 ) 2 2 - ( 3 ) 4 4

Resolvendo primeiro os termos no parêntese:

V = 2 π 9 2 - 9 4 = 2 π 18 - 9 4 = 9 2 π

Prontinho, encontramos o volume total uhhhh!

Curtiu a resolução? Responde Aí!!

Resposta

v o l u m e = 9 2 π

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em