Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação da região sombreada em torno do eixo y :

Passo 1

Opa pessoal, quem tá animado pra matar mais uma questãooo?! Vem junto com a gente 😊

Precisamos calcular o volume do sólido obtido quando rotacionamos a região:

em torno do eixo y . E, o enunciado pede para fazermos isso utilizando o método da casca. Vocês lembram dele?

Ele fala que se rotacionarmos uma região abaixo da curva f ( x ) em torno do eixo y , o volume do sólido obtido vale:

V = ∫ a b 2 π x ⋅ f x d x

Perfeito! Agora que já sabemos disso, vamos montar a integral e depois calcular o seu resultado!

Passo 2

Pra montar a integral que representa o nosso volume V , precisamos analisar melhor a região que será rotacionada:

Nota que ela é a região abaixo da curva:

y = f x = x 2 + 1

E, além disso, está no intervalo:

0 ≤ x ≤ 3

Assim, como o nosso volume V , pelo método das cascas, vale:

V = ∫ a b 2 π x ⋅ f x d x

Para a nossa região, vamos ter:

V =   ∫ 0 3 2 π x ⋅ x 2 + 1 d x

Excelente!

Passo 3

Por fim, vamos calcular a nossa integral.

V =   ∫ 0 3 2 π x ⋅ x 2 + 1 d x

Colocando as constantes para fora da integral:

V =   2 π ⋅ ∫ 0 3 x ⋅ x 2 + 1 d x

Pra calcular essa integral, é bem útil fazermos uma mudança de variáveis. Chamando:

u = x 2 + 1

∴ d u = 2 x d x

⇒ x d x = d u 2

Além disso, quando x = 0 :

u = 0 2 + 1 = 1

Quando x = 3 :

u = 3 2 + 1 = 4

Substituindo na integral:

V = 2 π ⋅ 1 2 ⋅ ∫ 1 4 u 1 2 d u

Usando que:

∫ a b x n = x n + 1 n + 1 a b

Temos:

V = π ⋅ 2 3 u 3 2 1 4

= π ⋅ 2 3 4 3 2 - 2 3 1 3 2

= 2 π 3 ⋅ 8 - 1

Logo:

V = 14 π 3

Resposta

14 π 3

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em