Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação da região sombreada em torno do eixo indicado:

c ) reta y = 8 / 5

Passo 1

Opa! Tudo bem com você?

É pedido para que calculemos o volume do sólido de revolução obtido quando se rotaciona a região dada acima

ao redor da reta y = 8 / 5 . O sólido de revolução obtido é

É um montinho com um buraco no seu topo, como aqueles bolos vulcão! Consegue visualizar? O enunciado pede para que usemos o método das cascas (ou método das cascas cilíndricas) para resolver este problema! Este método se trata de somar infinitamente diversas cascas cilíndricas de espessura d y , altura dada como h = f ( y ) , e em nosso caso, temos que o raio pode ser obtido como r = 8 / 5 - y , devido a nossa escolha de referencial, portanto, temos que o volume é calculado como

V = 2 π ∫ a b ( 8 5 - y ) [ f ( y ) ] d y

Vamos usar essas informações para calcular o nosso volume! Vem comigo!

Passo 2

Como estamos integrando em y a nossa região delimitada pelos valores de y = 0 e y = 1 , em que a função cruza o eixo y , temos então que utilizando a função f ( y ) = 12 ( y 2 - y 3 ) , e colocando os limites adequados, obtemos que

V = 2 π ∫ 0 1 ( 8 5 - y ) [ 12 ( y 2 - y 3 ) ] d y

Precisamos distribuir os produtos e resolver as integrais, nós temos que

V = 192 π 5 ∫ 0 1 y 2 d y - 192 π 5 ∫ 0 1 y 3 d y - 24 π ∫ 0 1 y 3 d y + 24 π ∫ 0 1 y 4 d y

Podemos juntar as duas integrais que são iguais e obter

V = 192 π 5 ∫ 0 1 y 2 d y - 312 π 5 π ∫ 0 1 y 3 d y + 24 π ∫ 0 1 y 4 d y

Para resolver estas integrações é preciso identificar as primitivas utilizando a seguinte regrinha

∫ a b y n d y = 1 n + 1 [ y n + 1 ] | a b = 1 n + 1 [ b n + 1 - a n + 1 ]

Vamos aplicar isso no próximo passo! Bora lá!

Passo 3

Usando a regrinha que apresentei para n = 2 , temos que

∫ 0 1 y 2 d y = 1 2 + 1 [ y 2 + 1 ] | 0 1 = 1 3 [ 1 3 - 0 3 ]

Ou simplesmente

∫ 0 1 y 2 d y = 1 / 3

Analogamente, para n = 3 , temos que

∫ 0 1 y 3 d y = 1 / 4

e, para n = 4 , temos que

∫ 0 1 y 4 d y = 1 / 5

Usando estes resultados em nosso volume, temos então que

V = 192 π 5 ( 1 / 3 ) - 312 π 5 ( 1 / 4 ) + 24 π ( 1 / 5 ) = 64 π 5 - 78 π 5 + 24 π / 5

Temos então a seguinte soma de termos

V = - 14 π / 5 + 24 π / 5 = 10 π 5

Ou seja, nosso volume é simplesmente

V = 2 π

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = 2 π

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em