Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

( e )   x = 2 y 2 ; y ≥ 0 ;   x   =   2 , em torno da reta y=2.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que encontrar o volume do sólido de rotação ao girarmos em torno da reta y=2 a região   x = 2 y 2 ; y ≥ 0 ;   x   =   2 . Para utilizarmos o método das cascas cilíndricas, escolhemos retângulos, de largura infinitesimal, paralelos ao eixo de rotação. Então o volume total é dado pela soma dos volumes das cascas cilíndricas formadas quando esses retângulos são rotacionados ao redor do eixo. No caso, a região a ser rotacionada em torno da reta y=2 é apresentada no gráfico abaixo:

d V = 2 π   ( 2 - y )   h   d x

sendo:

( 3 - y ) o raio do cilindro formado;

x = 2 - 2 y 2 a altura do cilindro;

d y a largura da casca.

Então o volume total fica:

V = 2 π   ∫ 0 1 ( 2 - y ) ( 2 - 2 y 2 )   d y

Então vamos lá resolver essa integral!

Passo 2

Temos que resolver a integral

V = 2 π   ∫ 0 1 ( - 4 y 2 + 4 + 2 y 3 - 2 y )   d y

Então, resolvendo a integral e aplicando os limites

V = 2 π   ( - 4 y 3 3 + 4 y + x 4 2 - y 2 ) | 0 1 = 2 π ( - 4 3 + 4 + 1 2 - 1 )

V = 13 3 π

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = 13 3 π ;

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Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em