Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume da região gerada pela rotação em torno do eixo y da região delimitada pelas curvas abaixo:

c) y = e - x 2 ,     y = 0 ,     x = 0 ,     x = 1

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Se liga só, as funções que temos que plotar num gráfico, obtemos:

E é sobre essa região que vamos rotacionar e integrar para achar o volume

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

O método das cascas cilíndricas é da seguinte forma:

V = ∫ a b 2 π x f x d x

Nesse caso, a função que limita o crescimento é f x = e - x 2 , certo?!!

E o intervalo de x percorre de 0 até 1, certo, carinha?!

Passo 3

Assim:

V = ∫ 0 1 2 π x e - x 2 d x

Raaaapaaz, ainda bem que temos esse x na frente, pois aa integral de e - x 2 é terrível. Procure pela função erro de Gauss.

Bora lá?! Façamos - x 2 = u de forma que d u = - 2 x     d x . Quando x=0 o valor de u=0, e x=1 u=-1. Assim, temos:

V = ∫ 0 - 1 2 π x - 1 2 x   e u d u

V = ∫ 0 - 1 - π   e u   d u

Sabemos das propriedades das integrais que:

∫ a b f x = - ∫ b a f x

Assim:

V = ∫ - 1 0 π e u d u

V = π e u - 1 0

V = π 1 - 1 e

Ossada, né? Mas conseguimos. É isso, carinha. Obrigado por ter vindo até aqui

Resposta

V = π 1 - 1 e

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em