Exercícios Resolvidos de Cascas Cilíndricas

Considere a região plana R definida por:

R = x , y ∈ I R 2   0 ≤ x ≤ 1   ; 0 ≤ y ≤ 1 + e x

Seja S o sólido de revolução obtido pela rotação de R em torno do eixo y

  1. Esboce abaixo a região plana R
  2. Utilizando o Método dos Discos, determine uma soma de duas integrais que forneça o volume de S . Obs: Nesse item não é necessário calcular a integral
  3. Utilizando o Método de Cascas, determine uma integral que forneça o volume de S . Obs: Nesse item não é necessário calcular a integral
  4. Calcule o volume de S pelo método que preferir

Passo 1

Fala povo, tudo certo? Vamos começar esboçando essa região R porque isso vai ajudar muito a gente. Pra começar, note que y está delimitado entre o eixo x e uma curva, essa curva sendo:

f x = 1 + e x

Pelas propriedades das exponenciais, a gente tira uma informação impostantíssima que auda a gente no esboço:

lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ f x = 1

Mas como x ≥ 0 , só vamos precisar nos preocupar com a parcela de f x que está no primeiro quadrante e que sai de um ponto pertencente ao eixo y . Que ponto é esse? Oras, basta fazer:

f 0 = 1 + e 0 = 1 + 1 = 2

Agora, como x ≤ 1 , é interessante a gente saber também em que ponto essa exponencial para. Pra isso basta a gente fazer:

f 1 = 1 + e

Beleeeza, como a região R é a área abaixo da curva f e sabemos onde a curva começa e onde ela termina, temos o suficiente pra esboçar:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Essa aqui é pegadinha em! Vamos tomar cuidado. O método dos discos sempre vale pra rotação em torno do eixo horizontal. Só que, por padrão, sempre colocamos o eixo x como o horizontal. Então pra rodar em torno do eixo y maaaas usar esse método, o que temos que fazer com o gráfico são duas operações:

Dessa forma os eixos x , y trocam de lugar e podemos usar o método. A região R vai ficar:

Agora sim podemos usar o método e integrar em função de y . Só temos que nos atentar ao fato de que essa mudança acaba invertendo função. Essa curva, x = x y , terá a seguinte lei de formação:

y = 1 + e x

e x = y - 1

ln ⁡ e x = ln ⁡ y - 1

x = ln ⁡ y - 1

Agora sim temos tudo que precisamos. Entendendo a região R acima como a região da esquerda menos a da direita, calculamos o volume pelo Método dos Discos usando, pra esquerda, função constante x = 1 e a pra direita a própria curva x = ln ⁡ y - 1 . O volume do sólido de revolução seria também uma subtração e escreveríamos como:

V = ∫ 0 1 + e π   1 2   d y - ∫ 2 1 + e π   ln ⁡ y - 1 2   d y

Passo 3

Pro Método das Cascas a gente pode dar uma relaxada porque ele já é bem direto ao ponto. Como ele é tradicionalmente usado para rotações ao redor do eixo vertical e em:

O eixo vertical já é o eixo y , só precisamos mesmo aplicar o método! Uma única integral nos salva! O volume será:

V = ∫ 0 1 2 π x   1 + e x   d x

E como essa integral é mais simples a gente já aproveita e calcula logo o volume

V = ∫ 0 1 2 π x   d x + ∫ 0 1 2 π x   e x   d x

A primeira integral fica:

V = π x 2 x = 0 x = 1 + ∫ 0 1 2 π x   e x   d x

V = π + ∫ 0 1 2 π x   e x   d x

Pra integral que sobrou, vamos ter que fazer uma integração por partes já que temos um polinômio vezes uma exponencial, seja, pela regrinha do LIATE:

u = 2 π x → d u = 2 π d x

d v = e x   d x → v = e x

A integração por partes fica

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u  

∫ 2 π x   e x   d x = 2 π x   e x - ∫ 2 π   e x   d x  

∫ 2 π x   e x   d x = 2 π x   e x - 2 π   e x = 2 π   e x x - 1  

E aplicando os limites de integração:

∫ 0 1 2 π x   e x   d x = 2 π   e x x - 1 x = 0 x = 1

∫ 0 1 2 π x   e x   d x = 2 π   e   1 - 1 - 2 π   e 0 0 - 1

∫ 0 1 2 π x   e x   d x = - - 2 π = 2 π

O volume final será:

V = π + 2 π

V = 3 π

Resposta

  1. V = ∫ 0 1 + e π   1 2   d y - ∫ 2 1 + e π   ln ⁡ y - 1 2   d y
  2. V = ∫ 0 1 2 π x   1 + e x   d x
  3. V = 3 π

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