4. Encontre o valor da área delimitada pelo gráfico da função f x = x 2 - 1 , o eixo x e as retas verticais x = - 2 e x = 1 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos que calcular a área delimitada por região!

Para fazermos esse calculo vamos aplicar a seguinte fórmula:

A = ∫ a b R   d x

Onde R é a região que vamos calcular a área e a , b os limites de integração.

Então agora nós temos que encontrar quem é essa função que vamos integrar e quem são os limites de integração.

Agora lá!

Passo 2

Vamos começar achando os limites de integração! Para isso, vamos traçar todas as linhas que delimitam a nossa região em um gráfico.

Onde a reta verde representa o gráfico y = x 2 - 1 ; e as linhas vermelha e laranja são as retas verticais x = - 2 e x = 1 , respectivamente.

Repara que temos uma região que está acima do eixo x , entre x = - 2 e - 1 . E outra área que está abaixo do eixo x , entre x = - 1 e x = 1 .

Sendo assim, vamos ter que calcular a área das duas regiões em separada e soma-las.

Agora bora montar a nossa integral!

Passo 3

Passando tudo para a fórmula do volume, ficamos com

A = ∫ - 2 - 1 x 2 - 1 d x + 2 ∫ - 1 0 x 2 - 1 d y

Repara que o sinal da função da segunda área está negativo, pois estamos integrando abaixo do eixo x . Além disso, como a região é simétrica de na segunda integral, podemos integrá-la de - 1 até 0 e depois dobrar esse valor.

Resolvendo a integral indefinda, aplicando a regra do polinômio para cada termo,

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Ficamos com

∫ x 2 - 1 d x = x 3 3 - x

Agora vamos aplicar os limites de integração!

Passo 4

Tinhamos,

A = ∫ - 2 - 1 x 2 - 1 d x + 2 ∫ - 1 0 x 2 - 1 d y

Logo,

A = x 3 3 - x - 1 - 2 + 2 x 3 3 - x 0 - 1

A = - 8 3 + 2 - 1 3 + 1 - 2 3 + 2

A = - 11 3 + 5 = 4 3

Resposta

V = 4 3

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Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em