13. Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação da região sombreada em torno do eixo indicado:

a) eixo x

Passo 1

Falaaa... Belezinha?

Essa questão está pedindo pra usar o método da casca pra determinar o volume do sólido de revolução, em torno do eixo x , da região sombreada.

Mas que método da casca é esse? É aquele da casca cilíndrica.

Com esse método vamos achar o volume do sólido a partir de algum cilindro mais genérico que esteja inscrito no sólido.

E usar a equação:

V = ∫ 2 π R   H   d R

Ta... um monte de palavra bonita, né? Mas como fazemos isso na prática?

Passo 2

Vamos fazer aparecer o tal do cilindro.

Como a rotação é em torno do eixo x , vamos traçar uma “linha”, de largura d R , paralela ao eixo x ligando a curva e a reta que delimitam a área. Esse vai ser o lado do nosso cilindro.

Daí podemos já dizer quem é quem.

Como escolhemos uma paralela ao eixo x para traçar o lado do cilindro, então o raio desse cilindro vai se paralelo ao eixo y :

R = y

E a espessura da linha é d R = d y .

Já, para H , temos que é entre os valores de x = 0 e x = 12 y 2 - y 3 . Então:

H = 12 y 2 - y 3 - 0

H = 12 y 2 - y 3

Passo 3

Agora é só jogar tudo na equação:

V = ∫ 2 π R   H   d R

V = ∫ 2 π   y   12 y 2 - y 3   d y  

Ahhh... mas faltam os limites de integração, né?

Repare, na imagem, que y varia de 0 a 1 . Então:

V = ∫ 0 1 2 π   y   12 y 2 - y 3   d y

Resolvendo:

V = 24 π ∫ 0 1 y 3 - y 4   d y

V = 24 π y 4 4 - y 5 5 0 1

V = 24 π 1 4 - 1 5 - 0 4 - 0 5

V = 24 π 1 4 - 1 5

V = 24 π 5 20 - 4 20

V = 24 π 1 20

V = 6 π 5

Acabamos mais uma. Bora pra próxima?

Resposta

V = 5 π 6

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em