Exercícios Resolvidos de Cascas Cilíndricas

Considere as funções f x = ln ⁡ x + 1 e g x = 2 + e x - 1 e a região plana R descrita abaixo:

R = x , y ∈ I R 2 f x ≤ y ≤ g x   ;   0 ≤ x ≤ 1  

Seja S o sólido de revolução obtido pela rotação de R em torno do eixo y

  1. Esboce a região R
  2. Determine f - 1 x e g - 1 x (as expressões das funções inversas de f e g , respectivamente)
  3. Utilizando o método que preferir, escreva o volume de S como uma integral ou soma de integrais. Obs.: Neste item não é necessário calcular o volume

Passo 1

Opa, vamos lá. Antes de mais nada, vamos precisar fazer um bom esboço. Afinal, ele que vai nos ajudar a montar a equação do volume depois. Vamos ver primeiro isso aqui:

ln ⁡ x + 1 ≤ y ≤ 2 + e x - 1

Pra função que delimita y por baixo, temos:

ln ⁡ x + 1

Pra esboçar essa curva é interessante a gente lembrar que pra funções logarítmas:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x + 1 = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ ln ⁡ x + 1 = - ∞

Mas como x ≥ 0 também ta valendo pra R , temos que considerar essa curva só a partir do eixo x . E quando ela toca esse eixo? Vamos ver?

ln ⁡ x + 1 = 0

x + 1 = e 0 = 1

x = 0

Show de bola, agora pra curva que delimita por cima:

2 + e x - 1

É interessante lembrarmos que das propriedades das exponenciais:

lim x → + ∞ ⁡ 2 + e x - 1 = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ 2 + e x - 1 = 0

Mas como x ≥ 0 também, só vamos nos preocupar com a parte dessa curva que tá a direita do eixo y . Opa, vai ser interessante então eu também anotar em que ponto que a curva toca esse eixo:

y = 2 + e 0 - 1

y = 2 + e - 1

E pra fechar basta só a gente olhar para a condição x ≤ 1 . Para a curva de cima e de baixo, respectivamente, teremos o seguinte valor de y para esse valor de x :

y = 2 + e 1 - 1 = 2 + e 0 = 2 + 1

y = 3

E olha só! Temos o suficiente pra esboçar agora! Bora lá então:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bora pras funções inversas então. As normais são essas:

y = f x = ln ⁡ x + 1

y = g x = 2 + e x - 1

Pra achar a inversa, basta a gente isolar x nos dois casos e depois trocar de lugar o x com y . Pro primeiro caso, temos:

y = ln ⁡ x + 1

x + 1 = e y

x = e y - 1

Trocando de lugar:

y = e x - 1

f - 1 x = e x - 1

Bora terminar essa letra da questão achando a inversa de g :

y = 2 + e x - 1

e x - 1 = y - 2

ln ⁡ e x - 1 = ln ⁡ y - 2

x - 1 ln ⁡ e = ln ⁡ y - 2

x - 1 = ln ⁡ y - 2

x = ln ⁡ y - 2 + 1

Trocando de lugar:

y = ln ⁡ x - 2 + 1

g - 1 x = ln ⁡ x - 2 + 1

Passo 3

Só falta mais uma coisita pra gente partir pro abraço! A fórmula do calcul do volume. Bem, como ele quer rotação em torno do eixo y , podemos usar o Método das Cascas logo de cara. Se entendermos a região R como uma região maior verde subtraída de uma menor cinza...

Para o volume do sólido de rotação, poderemos considerar a mesma coisa:

V = V v e r d e - V c i n z a

A vantagem que a gente tem é que cada cor corresponde a uma função f , g somente, então a montagem da fórmula do volume é direta ao ponto, só usar a curva correspondente a cada cor e os limites de integração 0   ;   1 dados do enunciado:

V = ∫ 0 1 2 π x 2 + e x - 1 d x - ∫ 0 1 2 π x ln ⁡ x + 1 d x

Resposta

  1. f - 1 x = e x - 1 g - 1 x = ln ⁡ x - 2 + 1
  2. V = ∫ 0 1 2 π x 2 + e x - 1 d x - ∫ 0 1 2 π x ln ⁡ x + 1 d x

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas