Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

( a )   x = y - y 2 ; x = 0 ;   0 ≤ y ≤ 1 , em torno do eixo y.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que encontrar o volume do sólido de rotação ao girarmos em torno do eixo y a região   x = y - y 2 ; x = 0 ;   0 ≤ y ≤ 1 . Se escolhermos retângulos paralelos ao eixo x de espessura dy, podemos utilizar o método dos discos. Sendo o volume total a soma do volume de cada disco de espessura dy e raio x(y).

d V = π   r 2   d x

sendo:

r = y - y 2 o raio do disco formado;

d y a largura do disco.

Então, observando o gráfico para determinar os limites de integração, o volume total fica:

V = π   ∫ 0 1   ( y - y 2 ) 2   d y

Então vamos lá resolver essa integral!

Passo 2

Temos que resolver a integral

V = π   ∫ 0 1   ( y - y 2 ) 2   d y = π   ∫ 0 1 ( y 2 - 2 y 3 + y 4 )   d y

Então, resolvendo a integral e aplicando os limites

V = π ( y 3 3 - 2 y 4 4 + y 5 5 ) | 0 1 = π   ( 1 3 - 1 2 + 1 5 )

V = π 30

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = π 30 ;

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em