Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

( e )   y   =   l n ( x ) ;   x   =   e ;   y   =   0 , em torno do eixo y.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que encontrar o volume do sólido de rotação ao girarmos em torno do eixo y a região   y   =   l n ( x ) ;   x   =   e ;   y   =   0 . Foi pedido para utilizarmos o método das cascas cilíndricas, sendo esse método aplicado quanto temos retângulos, de largura infinitesimal, paralelos ao eixo de rotação. Então o volume total é dado pela soma dos volumes das cascas cilíndricas formadas quando esses retângulos são rotacionados ao redor do eixo. No caso, a região a ser rotacionada em torno do eixo y é apresentada no gráfico abaixo:

d V = 2 π   x   h   d x

sendo:

x o raio do cilindro formado;

h = l n   x a altura do cilindro;

d x a largura da casca.

Então, observando o gráfico para determinar os limites de integração, o volume total fica:

V = 2 π   ∫ 1 e x   ( l n   x )   d x

Então vamos lá resolver essa integral!

Passo 2

Temos que resolver a integral

V = 2 π   ∫ 1 e x   l n   x   d x

Então, resolvendo a integral pelo método por partes e aplicando os limites

V = 2 π   ( x 2 2 l n   x - x 2 4 ) | 1 e = 2 π ( e 2 2 l n   e - e 2 4 + 1 4 )

V = π ( e 2 2 + 1 2 )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = π ( e 2 2 + 1 2 ) ;

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em