Exercícios Resolvidos de Cascas Cilíndricas

Cálculo de Volumes através de Integrais

Seja R a região compreendida entre os gráficos de f x = 18 9 + x 2 e g x = x 3 para x   ϵ   [ 0,3 ] , como mostra a figura abaixo:

a Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno de O x .

b Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno de O y .

Passo 1

a Não precisamos nem nos concentrar no desenho, nas interseções, nos limites de integração, já está tudo lá. A questão toda é aplicar a fórmula da melhor maneira possível.

Ok, na letra a queremos girar a região em torno do eixo x . O gráfico azul está mais distante do eixo x , a reta vermelha está mais próxima. Assim, o volume que nos interessa seria a diferença do volume feito para o gráfico azul e o gráfico vermelho, tudo por sessões transversais (já que giramos em torno do eixo x ):

V = ∫ a b π f x 2 d x - ∫ a b π g x 2 d x

Os limites, como já esclarece o enunciado, são x = 0 e x = 3 . Ficamos com f x = 18 9 + x 2 , g x = x 3 :

V = ∫ 0 3 π 18 9 + x 2 2 d x - ∫ 0 3 π x 3 2 d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos resolver essa primeira integral por substituição trigonométrica (repara que o denominador cai no caso da substituição de x por tg ⁡ θ :

x = a tg ⁡ θ = 3 tg ⁡ θ → d x = 3 sec 2 ⁡ θ d θ

Devemos mudar os limites também, superior e inferior:

x s u p = 3 = 3 tg ⁡ θ → θ = π 4

x i n f = 0 = tg ⁡ θ → θ = 0

∫ 0 π 4 π 18 9 + x 2 2 d x = ∫ 0 π 4 π 18 9 + 3 tg ⁡ θ 2 2 3 sec 2 ⁡ θ d θ

= ∫ 0 π 4 π 18 9 sec 2 ⁡ θ 2 3 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 4 π 4 sec 4 ⁡ θ 3 sec 2 ⁡ θ d θ

= 12 π ∫ 0 π 4 d θ sec 2 ⁡ θ = 12 π ∫ 0 π 4 cos 2 ⁡ θ d θ

Como temos a relação trigonométrica que diz que cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2 , podemos substituir na integral ficando da seguinte maneira:

= 12 π ∫ 0 π 4 cos 2 ⁡ θ d θ = 12 π ∫ 0 π 4 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

= 6 π θ + sen ⁡ 2 θ 2 [ π 4 0

= 6 π π 4 + sen ⁡ π 2 2 - 6 π 0 + sen ⁡ 0 2

= 6 π π 4 + 1 2 - 6 π 0 + 0 2

= 3 π 2 2 + 3 π   u . v .

Passo 3

Agora falta fazer a subtração com o outro termo da integral:

∫ 0 3 π x 3 2 d x = ∫ 0 3 π x 2 9 d x

= π x 3 27 [ 3 0

= π 27 - 0 27 = π

Assim, o volume total é:

3 π 2 2 + 3 π - π

= 3 π 2 2 + 2 π   u . v .

Passo 4

b Agora giramos em torno do eixo y . Vou tentar a integral por cascas cilíndricas, para não ter o trabalho de ter que inverter as funções e os limites de integração. Se fizermos assim, nós ficaremos com o volume sendo a rotação do gráfico azul menos a do gráfico vermelho em torno do eixo y :

∫ a b 2 π x f x d x - ∫ a b 2 π x g x d x

Os limites de integração são os mesmos, assim como as funções:

V = ∫ 0 3 2 π x 18 9 + x 2 d x - ∫ 0 3 2 π x x 3 d x

= 2 π ∫ 0 3 18 x 9 + x 2 d x - 2 π ∫ 0 3 x 2 3 d x

O primeiro termo da integral pode sofrer a seguinte substituição para ser resolvido:

u = 9 + x 2 → d u = 2 x   d x

2 π ∫ 0 3 18 x 9 + x 2 d x = 2 π ∫ 0 3 9 d u u

= 2 π 9 ln ⁡ u

= 2 π 9 ln ⁡ 9 + x 2

Passo 5

Assim, sendo a outra integral a de um polinômio normal, ficamos assim:

2 π ∫ 0 3 18 x 9 + x 2 - x 2 3 d x

= 2 π 9 ln ⁡ 9 + x 2 - x 3 9 [ 3 0

= 2 π 9 ln ⁡ 9 + 9 - 27 9 - 2 π 9 ln ⁡ 9 - 0 9

= 2 π 9 ln ⁡ 18 - 9 ln ⁡ 9 - 3

= 2 π 9 ln ⁡ 9 + 9 ln ⁡ 2 - 9 ln ⁡ 9 - 3

= 6 π 3 ln ⁡ 2 - 1

Resposta

a   V = 3 π 2 2 + 2 π   u . v .

b   V = 6 π 3 ln ⁡ 2 - 1   u . v .

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