Use o método das cascas cilíndricas para calcular o volume do sólido obtido rotacionando a região R em torno do eixo y . Esboce o sólido obtido.

b) R é limitada por baixo pelo eixo x , a direita pela reta x = e e acima por y = ln ⁡ ( x ) entre - π 2 ≤ x ≤ π 2 .

Passo 1

Opa, tudo certinho?

Já de cara, vamos dar uma olhada em quem é a região que vamos rotacionar, beleza? Temos o seguinte:

Ao rotacionar esta região em torno do eixo-y, obtemos algo do tipo:

Imagine como uma calota. Os cilindros preto e azul, estão aqui para exemplificar o método que iremos utilizar. Para calcularmos qual é o volume deste sólido devemos somar o volume de diversas cascas cilíndricas de raio r = x e altura h = f ( x ) , de forma que:

V = ∫ a b 2 π x f ( x ) d x

Então, bora lá!!

Passo 2

Com o método calcula tendo como base o raio das cascas cilíndricas, nós iremos utilizar limites de integração que vão de π / 2   à e , obtendo:

V =   2 π ∫ π / 2 e x ln ⁡ ( x ) d x

Esta integral deve ser resolvida por partes! Bora lá!

Passo 3

Se lembrar do método do LIPTE (Logaritmo, Inversa, Polinomial, Trigonométrica e Exponencial) que te dá a ordem para escolher quem é o seu u na integral por partes, verá que é conveniente fazer a escolha:

u = l n ⁡ ( x ) → d u = 1 x d x

E

d v = x d x         e         v = ∫ x d x = x 2 2

De forma que possamos escrever nossa integral como:

∫ u d v = u v - ∫ v d u → ∫ x ln ⁡ x d x = x 2 2 ln ⁡ x - 1 2 ∫ x 2 x d x = x 2 ln ⁡ x 2 - 1 2 ∫ x d x

Agora está mais de boinhas neh? Bora continuar!

Passo 4

Temos que esta integral já está em um formato que vale a pena saber de cor! Temos que:

∫ x d x = x 2 2

Portanto:

∫ π / 2 e x ln ⁡ ( x ) d x = x 2 ln ⁡ x 2 ​ π 2 e - 1 2 x 2 2 π 2 e = e 2 2 ln ⁡ e - π 2 8 ln ⁡ π 2 - 1 4 e 2 - π 2 4 = e 2 4 + π 2 4 1 - ln ⁡ π 2 2

Vamos voltar a nossa integral original!

Passo 5

Temos então para o nosso volume que:

V =   2 π e 2 4 + π 2 4 1 - ln ⁡ π 2 2

Essa alternativa foi isso! Te vejo na próxima! Até já!

Resposta

V =   2 π e 2 4 + π 2 4 1 - ln ⁡ π 2 2

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em