A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método.

b. x = 2 s e n 2 y ,   0 ≤ y ≤ π 2 ,   x = 4 2 y π em torno do eixo y.

Passo 1

Fala turminha beleza? Bora lá! A maior dificuldade dessa questão tá na gente conseguir imaginar como ficaria o gráfico dessa questão. Temos isso aqui:

Passo 2

Dividindo a o gráfico em duas regiões de rotação, vai facilitar nossa vida. A gente faz eles separados e depois soma. Primeiro calculando a região A:

Para os limites de integração, precisamos achar esse ponto aqui:

É ele quem vai nos dizer até aonde vamos integrar o nosso volume A. Para achar ele precisamos igualar as equações e saber aonde se tocam. Então a gente faz assim:

2 s e n 2 y = 4 2 y π

Passo 3

Beleza, agora temos dois caminhos. Primeiro é resolver essa equação da maneira tradicional, mas ela vai ficar muuuuito grande extensa. Pelo intervalo trigonométrico e pelo valor próximo do gráfico, podemos inferir que o intervalo vai de 0 até π / 4 . Portanto,

V A = π ∫ 0 π / 4 2 s e n 2 y d y - ∫ 0 π / 4 4 2 y π d y

Resolvendo essa integral:

= π ∫ 0 π / 4 2 s e n 2 y d y - 16 ⋅ 2 π 2 ∫ 0 π / 4 y 2 d y

= 2 π - c o s 2 y 2 ​ 0 π 4 - 16 ⋅ 2 π 2 y 3 3 ​ 0 π 4

= π - π 2 6

Passo 4

Agora calculando o volume de B, vamos primeiro atrás dos intervalos de integração. Como ele começa aonde o nossa região A acaba, e ele termina categoricamente em π / 2 , temos o seguinte:

V B = ∫ π / 4 π / 2 4 2 y π d y - ∫ π / 4 π / 2 2 s e n 2 y d y  

Como ja temos o valor de cada integral pré montado no passo passado, ja podemos calcular direto o valor. Temos então que:

V B = 16 ⋅ 2 π 2 y 3 3 ​ π 4 π 2 + 2 π c o s 2 y 2 ​ π 4 π 2

V B = 7 π 6 - π

E agora pra finalizar,

Somando os dois volumes:

V S = V A + V B = π - π 2 6 + 7 π 6 6 - π

V S = π 2

Resposta

V S = π 2

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Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em