Exercícios Resolvidos de Cascas Cilíndricas

UFRJ, Cálculo 1, P2 - 2012.2, Questão 2

Encontre o volume gerado pela rotação da região limitada

R = { ( x , y ) R 2 ;     0 y x 2 - x 3 }

em torno da reta x = - 1 .

Passo 1

O probleminha nos dá uma região limitada por:

e m   c i m a :   y = x 2 - x 3 e m b a i x o :   y = 0 e s q u e r d a :   ? d i r e i t a : ?

Como você pode perceber, ainda não sabemos muito bem qual é a região a ser rotacionada em torno de x = - 1 . Por isso, vamos começar esboçando a região a partir do esboço das curvas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar estudando o comportamento da função y = x 2 - x 3 .

Interseção com o eixo x :

y = 0   : x 2 - x 3 = 0 x 2 1 - x = 0 x = 0   ou   x = 1 .  

Interseção com o eixo y :

x = 0 y = 0

Repare que quando x - , y + . Logo, a região limitada está entre x = 0 e x = 1 .

Primeira derivada:

y ' = 2 x - 3 x 2

Segunda derivada:

y ' ' = 2 - 6 x

Esboço da função:

É conveniente usarmos o método das cascas cilíndricas (já que não podemos calcular pelo método das seções transversais):

a b 2 π r circunferência f x d x

Passo 3

a b 2 π r circunferência f x d x

a = 0 ,     b = 1

r circunferência = 1 + x ,     f x = x 2 - x 3

Logo:

0 1 2 π 1 + x x 2 - x 3 d x = 2 π 0 1 x 2 - x 4 =

= 2 π ( x 3 3 - x 5 5 ) 0 1 = 4 15 π

OBS:

Nesse problema, usamos o método das cascas cilíndricas.

Você deve usá-lo sempre que for muito difícil usar o método das seções transversais.

Por exemplo: como acharíamos o raio interno e externo do sólido? Não dá! Pois só temos uma função, e não duas.

Resposta

4 15 π

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