Exercícios Resolvidos de Cascas Cilíndricas

Cálculo de Volume através de Integrais

Considere a região R delimitada pela parábola y = x 2 + 2 x - 4 e pela reta y = - 1 .

( a ) Esboce a região R

( b ) Considere S o sólido obtido pela rotação da região R ao redor da reta x = 2 . Escreva uma integral que calcule o volume de S .

( c ) Calcule o Volume de S .

Passo 1

( a ) Temos que a expressão da parábola pode ser melhor aberta por:

x 2 + 2 x - 4 = x + 1 + 5 x + 1 - 5

As raízes serão, para facilitar no seu desenho, aproximadamente - 3,1 e 1,1 :

Lembrando que esse é apenas um esboço para dar uma noção geral.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

( b ) Refiz o desenho adicionando o eixo de rotação para o volume pedido:

O método mais prático de fazer esse cálculo é através de cascas cilíndricas. Nesse caso, podemos dizer que a altura do cilindro será a distância da parábola até y = - 1 , ou seja

- 1 - x 2 + 2 x - 4

Para o raio, temos que ele valerá a distância horizontal de um ponto ( x , y ) qualquer até um ponto na reta x = 2 na mesma altura, ou seja, será a seguinte diferença:

2 - x

Assim, nossa integral, que se estende no intervalo dos dois pontos onde y = - 1 encontra y = x 2 + 2 x - 4 :

x 2 + 2 x - 4 = - 1

x 2 + 2 x - 3 = 0

x + 3 x - 1 = 0

x = - 3 ; x = 1

Terá sua integral dada por:

V = ∫ - 3 1 2 π 2 - x - 1 - x 2 + 2 x - 4 d x

Passo 3

Agora é só resolver:

V = ∫ - 3 1 2 π 2 - x - x 2 - 2 x + 3 d x

= ∫ - 3 1 2 π x 3 - 7 x + 6 d x

= 2 π x 4 4 - 7 x 2 2 + 6 x [ 1 - 3

= 2 π 1 4 4 - 7 ( 1 2 ) 2 + 6 ( 1 ) - - 3 4 4 - 7 - 3 2 2 + 6 ( - 3 )

= 2 π 1 4 - 7 2 + 6 - 81 4 - 63 2 - 18

= 2 π - 20 + 28 + 24

= 2 π 32

= 64 π

Resposta

a   ( f i g u r a   a c i m a )

b   V = ∫ - 3 1 2 π 2 - x - 1 - x 2 + 2 x - 4 d x

c   V = 64 π

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