12. Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x , das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

e) y = x ,   y = 1

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Essa questão está pedindo pra gente usar o método da casca pra determinar o volume do sólido de revolução, em torno do eixo x , da região limitada pela curva y = x e pela reta   y = 1 .

Mas que método da casca é esse? É aquele da casca cilíndrica.

Com esse método vamos achar o volume do sólido a partir de algum cilindro mais genérico que esteja inscrito no sólido.

E usar a equação:

V = ∫ 2 π R   H   d R

Ta... um monte de palavra bonita, né? Mas como fazemos isso na prática?

Passo 2

Primeira coisa que vamos fazer é esboçar essas duas curvas pra achar qual é essa bendita região delimitada.

Para y = x , temos uma reta que é espelhada pra cima nos valores negativos de x , é a reta verde.

E para y = 1 , temos uma reta paralela ao eixo x em y = 1 , que no caso é a reta azul.

Vamos aproveitar e já calcular esses dois pontos de intersecção. Pra isso, igualamos as equações das curvas:

x = 1

Daí temos dois valores possíveis. Ou:

x = 1

E já temos que y = 1 .

Ou:

- x = 1

x = - 1

Também já temos que y = 1 .

Além disso, temos um terceiro ponto, que é a pontinha do triângulo. Esse ponto também vai ser importante. Ele está em y = 0 e x = 0 , bem na origem.

Passo 3

Agora vamos fazer aparecer o tal do cilindro.

Como a rotação é em torno do eixo x , vamos traçar uma “linha”, de largura d R , paralela ao eixo x ligando as duas retas que delimitam a área. Esse vai ser o lado do nosso cilindro.

Daí podemos já dizer quem é quem.

Como escolhemos uma paralela ao eixo x para traçar o lado do cilindro, então R = y .

E a espessura da linha é d R = d y .

Já, para H , temos que é apenas entre os valores de y = x . Na parte em que x   tem valores negativos temos y = - x , mas estamos trabalhando com y , então x = - y . E na parte que tem valores positivos y = x . Então:

H = y - - y

H = 2 y

Passo 4

Agora é só jogar tudo na equação:

V = ∫ 2 π R   H   d R

V = ∫ 2 π   y   ( 2 y )   d y  

Ahhh... mas faltam os limites de integração, né?

No final do passo 2 achamos pontos importantes, que as curvas se cruzam. Daí podemos ver, então que y varia entre 0 e 1. Então:

V = ∫ 0 1 2 π   y   ( 2 y )   d y

Resolvendo:

V = 4 π ∫ 0 1 y 2

V = 4 π y 3 3 0 1

V = 4 π 1 3 - 0 3

V = 4 π 1 3

V = 4 π 3

Acabamos mais uma. Partiu pra próxima?

Resposta

V = 4 π 3

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em