Exercícios Resolvidos de Cascas Cilíndricas

Cálculo de Volumes através de Integrais

Seja R = x , y ∈ R 2 : x - 2 2 ≤ y ≤ 4 . Determine o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo O y .

Passo 1

Primeiro desenhamos a região, levando em conta que x - 2 2 é uma parábola de uma só raiz em x = 2 , concavidade para cima, e que toca o eixo y = 4 em:

x - 2 2 = 4

x - 2 = ± 2

x = 0   ; x = 4

A região será:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A gente pode, fazer essa integral então pelo método das cascas cilíndricas, reparando que um cilindro com eixo em y teria raio valendo o próprio x e altura indo do limite superior de y até o inferior, ou seja, 4 - x - 2 2 . Os limites de integração seriam as interseções que já achamos. Assim, nossa integral teria essa cara:

V = ∫ a b 2 π r x h x d x

= ∫ 0 4 2 π x 4 - x 2 - 4 x + 4 d x = 2 π ∫ 0 4 x 4 x - x 2 d x

= 2 π ∫ 0 4 4 x 2 - x 3 d x

= 2 π 4 x 3 3 - x 4 4 [ 4 0

= 2 π 4 4 3 3 - 4 4 4 - 4 0 3 - 0 4

= 2 π 256 3 - 64 - 0

= 128 π 3

Resposta

V = 128 π 3   u . v .

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