Exercícios Resolvidos de Cascas Cilíndricas

Cálculo de Volumes através de Integrais

Seja f x = 1 x - 1 . Considere a região ilimitada R , entre o eixo O x , o gráfico de f , a reta x = 1 e a reta x = 2 . Calcule, se possível, o volume obtido pela rotação de R ao redor da reta x = 1 .

Passo 1

Cara, a reta x = 1 é basicamente um eixo paralelo ao eixo y só que passando no ponto 1,0 , e essa f x = 1 x - 1 é como o gráfico da hipérbole 1 x deslocado uma unidade para frente. Olha como ficaria o nosso esboço:

Como pedido, a região R ilimitada, entre x = 1 e x = 2 . Rotação em torno de um eixo paralelo a y costuma ser mais simples quando fazemos por casca cilíndrica:

V = ∫ a b 2 π r x h x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nesse caso, o raio da casca será x menos o eixo, ou seja r x = x - 1 . Já o h x é a própria função. Com isso,

∫ a b 2 π r x h x d x = 2 π ∫ 1 2 x - 1 1 x - 1 d x

= 2 π ∫ 1 2 d x = 2 π x [ 2 1

= 2 π 2 - 1

= 2 π   u . v .

Resposta

V = 2 π   u . v .

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