Seja f x = 1 x - 1 . Considere a região ilimitada R , entre o eixo O x , o gráfico de f , a reta x = 1 e a reta x = 2 . Calcule, se possível, o volume obtido pela rotação de R ao redor da reta x = 1 .

Passo 1

Cara, a reta x = 1 é basicamente um eixo paralelo ao eixo y só que passando no ponto 1,0 , e essa f x = 1 x - 1 é como o gráfico da hipérbole 1 x deslocado uma unidade para frente. Olha como ficaria o nosso esboço:

Como pedido, a região R ilimitada, entre x = 1 e x = 2 . Rotação em torno de um eixo paralelo a y costuma ser mais simples quando fazemos por casca cilíndrica:

V = ∫ a b 2 π r x h x d x

Passo 2

Nesse caso, o raio da casca será x menos o eixo, ou seja r x = x - 1 . Já o h x é a própria função. Com isso,

∫ a b 2 π r x h x d x = 2 π ∫ 1 2 x - 1 1 x - 1 d x

= 2 π ∫ 1 2 d x = 2 π x [ 2 1

= 2 π 2 - 1

= 2 π   u . v .

Resposta

V = 2 π   u . v .

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em