Exercícios Resolvidos de Cascas Cilíndricas

Seja R a região delimitada pelas curvas y = x 2 + 4 x + 2 , y = x + 2

a Esboce a região R

b Determine a área da região

c Calcule o volume do sólido obtido pela rotação desta região ao redor da reta x = 3

Passo 1

( a ) Vamos um por um: temos uma parábola x 2 + 4 x + 2 , com vértice em x = - 2 . Somada a essa parábola, aparece uma reta y = x + 2 , que delimita região com a parábola.

Os pontos de encontro delas serão:

x 2 + 4 x + 2 = x + 2

x 2 + 3 x = 0

x x + 3 = 0

x 1 = 0     ;     x 2 = - 3

Juntando tudo, ficamos assim, com essa região de x = - 3 até x = 0 :

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

( b ) Olhando o gráfico, a gente vê que podemos achar essa área como a integral de y = x + 2 menos y = x 2 + 4 x + 2 de - 3 até 0 .

Logo,

A = ∫ - 3 0 x + 2 - x 2 + 4 x + 2   d x

Passo 3

Resolvendo a integral

A = ∫ - 3 0 x + 2 - x 2 + 4 x + 2   d x

= ∫ - 3 0 - x 2 - 3 x   d x = - x 3 3 - 3 x 2 2 [ 0 - 3

= - 0 3 - 0 2 - - - 3 3 3 - 3 - 3 2 2

= - 27 3 + 27 2 = 9 2   u . a .

Passo 4

( c ) Vamos utilizar o método das cascas cilíndricas. Usando como altura a própria diferença entre as duas funções, a reta e a parábola:

h = x + 2 - x 2 + 4 x + 2

O raio será dado pelo módulo de x somado a 3 . Nesse caso, como temos x < 0 , temos:

r = - x + 3

A fórmula da casca cilíndrica é:

V = ∫ - 3 0 2 π h r d x

= ∫ - 3 0 2 π x + 2 - x 2 + 4 x + 2 - x + 3 d x

= 2 π ∫ - 3 0 - x 2 - 3 x - x + 3 d x

= 2 π ∫ - 3 0 x 3 - 9 x d x

Passo 5

Resolvemos a integral agora:

V = 2 π ∫ - 3 0 x 3 - 9 x d x

= 2 π x 4 4 - 9 x 2 2 [ 0 - 3

= 2 π 0 4 - 9 0 2 - - 3 4 4 - 9 - 3 2 2 =

= 2 π - 81 4 + 81 2 = 81 π 2   u . v .

Resposta

a   f i g u r a   a c i m a

b 9 2   u . a .

c   V = 81 π 2   u . v .

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