Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e largura. Então, escreva a integral que dá o volume do sólido de rotação dessa área em torno das retas dadas. Em, pelo menos um dos volumes deve ser usado o método das cascas cilíndricas.

9   y = x 2 / 3 ,               y = 3 - x ,     x ≥ 0   : e m   t o r n o   d o s   e i x o s   x   e   y  

Passo 1

Faaaaala meu/minha consagradx!! Beleza?? Seguinte, vamos devagarinho aqui... parte por parte sobre o que a questão pede.

Primeiramente vamos esboçar a curva y = x 2 / 3 e a curva y = 3 - x em um mesmo gráfico:

Analisando ainda mais a figura, vemos que a região delimitada entre as curvas é essa aqui ó:

Tá... Mas e esse “retângulo aproximadamente típico” que a questão pede??

Ele não é nada mais e nada menos do que um retângulo em que a altura equivale a diferença entre as duas funções e a largura é a variação do no eixo x , ou seja, Δ x . Para ficar mais fácil de entender, podemos ver:

Passo 2

Dessa forma, o volume sólido de rotação em torno do eixo x , ou seja:

É dado pela seguinte integral:

V = π ∫ 0 1 3 - x 2 - x 2 3 2 d x ∴

Em que 1 é o ponto de interseção entre as duas funções (só igualar as funções rsrs).

Logo, resolvendo a integral:

V = π 4 9 ln ⁡ 3 - 1 45

Passo 3

Agora, em torno do eixo y a gente pode usar o Método das Cascas Cilíndricas (MCC) para descobrir o volume do sólido de rotação em torno dessa reta aí. Ou seja:

V M C C = 2 π ∫ 0 1 x x - 3 - x 2 3 d x

Basicamente a gente multiplica a integral por 2 π (que nem a gente calcula o perímetro de uma circunferência ;D) e dentro da integral aquele termo ( x ) é pra escolher o eixo de rotação (nesse caso, bem em cima do eixo y ).

Logo, resolvendo a integral, temos:

V M C C = 2 π ∫ 0 1 x 3 - x d x - ∫ 0 1 x 3 3 d x

V M C C = 2 π - ln ⁡ 3 + 2 3 ln 2 ⁡ 3 - 1 12

Legal ne??? Vamos para a próxima!! Valeeeeu!!

Resposta

V = π 4 9 ln ⁡ 3 - 1 45

V M C C = 2 π - ln ⁡ 3 + 2 3 ln 2 ⁡ 3 - 1 12

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em