Calcule o volume do sólido obtido com a rotação da região triangular limitada pelas retas 2 y = x + 4 , y = x e x = 0 , em torno:

b ) do eixo y , usando o método da casca.

Passo 1

Opa! Tudo bem com você?

O enunciado pede para que calculemos o volume do sólido de revolução da região delimitada pelas retas

2 y = x + 4 , y = x e x = 0

Esta região é a seguinte

A reta superior é 2 y = x + 4 e intercepta o eixo y em y = 2 . A reta inferior é y = x e cruza o eixo y em y = 0 . A intersecção entre as duas acontece em y = x = 4 . Nesta alternativa precisamos realizar a revolução em torno do eixo y , de forma que obtemos o seguinte sólido de revolução

A linha vermelha é a reta y = x + 4 2 , a linha azul a reta y = x , e reta verde indica o eixo y . O enunciado nos pede para utilizarmos o método das cascas! Vamos relembrá-lo rapidamente!

Passo 2

O método das cascas pode ser resolvido calculando o volume de uma casca cilíndrica de espessura d x , altura H e circunferência 2 π R , ou seja, temos

V = 2 π ∫ a b R ( x ) H ( x ) d x

O raio em nosso caso é simplesmente R ( x ) = x , no entanto, a altura será a diferença entre a função superior, e a inferior, ou seja, temos que

H ( x ) = [ x + 4 2 - x ] = 2 - x 2

O volume é então calculado através de

V = 2 π ∫ 0 4 x [ 2 - x 2 ] d x = 4 π ∫ 0 4 x d x - π ∫ 0 4 x 2 d x

Agora é só resolver as integrais! Bora lá?

Passo 3

Aqui precisamos identificar primitivas da forma

∫ a b x n d x = 1 n + 1 [ x n + 1 ] | a b = 1 n + 1 [ b n + 1 - a n + 1 ]

Temos que com n = 1

∫ 0 4 x d x = 1 2 [ x 2 ] | 0 4 = 1 2 [ 4 2 - 0 2 ] = 8

e, para n = 2 , temos

∫ 0 4 x 2 d x = 1 3 [ x 3 ] | 0 4 = 1 3 [ 4 3 - 0 3 ] = 64 3

Com estes resultados em mãos podemos escrever que

V = 4 π ( 8 ) - π ( 64 / 3 ) = 32 π - 64 π / 3

Ou, simplesmente

V = 96 π / 3 - 64 π / 3 = 32 π / 3

A questão foi isso! te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

V = 32 π / 3

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em