Exercícios Resolvidos de Cascas Cilíndricas

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região delimitada pela curva y = cos ⁡ π x 2 , y = 0 e 0 ≤ x ≤ 1 .

Passo 1

Vamos usar o método das cascas cilíndricas para resolver. Esse método utiliza a seguinte fórmula para volume:

V = ∫ a b 2 π x f x d x

Sendo 2 π x o perímetro da circunferência, f ( x ) a altura do sólido, e a , b o intervalo de variação do x , temos que nessa questão

f x = y = cos ⁡ π x 2

E

a , b = 0,1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A integral que calcula o volume pedido será então

V = 2 π ∫ 0 1 x cos ⁡ π x 2 d x

Vamos resolvê-la fazendo integração por partes, sendo

u = x

d u = d x

d v = cos ⁡ π x 2

v = 2 π sen ⁡ π x 2

Portanto

V = 2 π x 2 π sen ⁡ π x 2 0 1 - ∫ 0 1 2 π sen ⁡ π x 2 d x

V = 2 π 2 π + 2 π 2 π cos ⁡ π x 2 0 1

V = 2 π 2 π + 2 π . 2 π . ( 0 - 1 )

V = 2 π 2 π - 4 π ²

V = 4 - 8 π

Resposta

V = 4 - 8 π

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