Exercícios Resolvidos de Cascas Cilíndricas

Cálculo de Volume através de Integrais

Encontre o volume obtido pela rotação da placa limitada por y = 0 , y = f x , x = 0 e x = π 2 - 1 , em torno do eixo y , sendo f x = cos ⁡ ( x 2 + 1 ) .

Passo 1

O cara quer o que nós calculemos o valor do volume rotacionado em torno de y da região R dada por:

R : y = 0 ; y = cos ⁡ ( x 2 + 1 ) ; x = 0 ; x = π 2 - 1

Com f 0 = cos ⁡ ( 1 ) e f π 2 - 1 = cos ⁡ π 2 - 1 2 + 1 = cos ⁡ π 2 = 0 .

Vamos, em primeiro lugar, desenhar R . Eu não sei com exatidão como se comportaria o c o s ⁡ ( x 2 + 1 ) num gráfico, mas deve ser algo parecido com uma cossenóide.

Ali eu representei também duas setas, uma horizontal e outra vertical. A horizontal vai medir em relação ao eixo y o raio de rotação de R em relação ao mesmo eixo. Já a seta vertical medirá uma distância f ( x ) do gráfico até o eixo x . Enfim, como a rotação é em torno do eixo y , podemos constatar que a reta horizontal medirá o raio dessa rotação e a vertical a altura. Fazendo o volume por cascas cilíndricas teríamos:

R a i o : x     ;     A l t u r a : cos ⁡ ( x 2 + 1 )

V = ∫ 0 π 2 - 1 2 π x cos ⁡ x 2 + 1 d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos resolver a integral com uma substituição:

V = π ∫ 0 π 2 - 1 2 x cos ⁡ x 2 + 1 d x

u = x 2 + 1 → d u = 2 x d x

x = 0 → u = 1

x = π 2 - 1 → u = π 2

V = π ∫ 0 π 2 - 1 cos ⁡ u d u

= π sen ⁡ u [ π / 2 1

= π sen ⁡ π 2 - sen ⁡ 1

= π 1 - sen ⁡ 1

Esse é nosso volume!

Resposta

V = π 1 - sen ⁡ 1   u n i d a d e s   d e   v o l .

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