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Exercícios Resolvidos de Cascas Cilíndricas

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Enunciado

Considere a região delimitada pelo gráfico da função f x = x 2 + 1 e pelo eixo x , com x ∈ 1 ,   2 .

Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação dessa região em torno do eixo y .

Passo 1

Vamos começar visualizando essa região.

A função é bem simples, então podemos esboçar o gráfico dela:

Mais especificamente, no intervalo 1 ,   2 , que foi o intervalo pedido:

Então a região que o enunciado falou é:

Passo 2

Aplicando a fórmula, o volume V do sólido de revolução é

V = ∫ 1 2 2 π x f x d x

⇒ V = 2 π ∫ 1 2 x x 2 + 1 d x

Passo 3

Agora é só desenvolver isso e integrar!

V = 2 π ∫ 1 2 x 3 + x d x = 2 π x 4 4 + x 2 2 1 2

= 2 π 16 4 + 4 2 - 1 4 - 1 2 = 2 π 16 4 + 8 4 - 3 4

= 2 π 21 4 = 21 π 2

Resposta

21 π 2

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