Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

( b )   y   =   x ;   x   =   2 ;   x   =   4 ;   y   =   0 , ao redor da reta x=1.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que encontrar o volume do sólido de rotação ao girarmos em torno da reta x=1 a região   y   =   x ;   x   =   2 ;   x   =   4 ;   y   =   0 . Para utilizarmos o método das cascas cilíndricas, escolhemos retângulos, de largura infinitesimal, paralelos ao eixo de rotação. Então o volume total é dado pela soma dos volumes das cascas cilíndricas formadas quando esses retângulos são rotacionados ao redor do eixo. No caso, a região a ser rotacionada em torno da reta x=1 é apresentada no gráfico abaixo:

d V = 2 π   ( x - 1 )   h   d x

sendo:

( x - 1 ) o raio do cilindro formado;

y = x a altura do cilindro;

d x a largura da casca.

Então o volume total fica:

V = 2 π   ∫ 2 4 ( x - 1 ) x   d x

Então vamos lá resolver essa integral!

Passo 2

Temos que resolver a integral

V = 2 π   ∫ 2 4 ( x - 1 ) x   d x

Então, resolvendo a integral e aplicando os limites

V = 2 π   ∫ 2 4 ( x 2 - x )   d x = 2 π   ( x 3 3 - x 2 2 ) | 2 4 = 2 π ( 1 3 ( 4 3 - 2 3 ) - 1 2 ( 4 2 - 2 2 ) )

V = π ( 76 3 )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = π ( 76 3 ) ;

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em