Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

c )   x = 2 y - y 2 ,             x = 0

Passo 1

Saaalve galerinha, animam destruir essa questão comigo?

O enunciado nos diz que há uma região criada pelo limite das seguintes retas:

x = 2 y - y 2 ,             x = 0

Podemos plotar o gráfico e perceber a região amarela foi formada. Olha só!

A dúvida é: quando essa região rotacionar ao redor do eixo x, qual vai ser o volume do sólido? Vem descobri comigooo!

Passo 2

A ideia aqui é usar o método da casca que tem o objetivo de calcular o volume de uma região segundo a fórmula:

V = ∫ a b 2 π   ( r a i o   d a   c a s c a ) ( a l t u r a   d a   c a s c a )

O raio da casca vai ser a variação no eixo y, então 0 < y ≤ 2 , pois a rotação é no eixo x.

E a altura da casca é a curva f y = 2 y - y 2 .

Substituindo na fórmula da casca, temos:

V = ∫ 0 2 2 π   y 2 y - y 2 d y = ∫ 0 2 2 π   2 y 2 - y 3 d y

Passo 3

E o nosso último passo vai ser resolver essa integral LINDA!

Fazendo uma simplificação para facilitar resolver a integral:

V = 2 π ∫ 0 2   2 y 2 - y 3 d y

Integrando, teremos:

V = 2 π   2 y 3 3 - y 4 4 0 2 = 2 π 2 ( 2 ) 3 3 - ( 2 ) 4 4

Resolvendo primeiro os termos no parêntese:

V = 2 π 16 3 - 16 4 = 2 π 64 - 48 12 = 16 π 6 = 8 π 6

Prontinho, encontramos o volume total uhhhh!

Curtiu a resolução? Responde Aí!!

Resposta

v o l u m e = 8 π 3

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em