Exercícios Resolvidos de Cascas Cilíndricas

Fixado m > 0 , considere a região R delimitada pelas curvas y = 1 x ,   x = m ,   x = 2 m e y = 0 . Considere também o sólido W dado pela rotação de R em torno do eixo y . Se A é a área de R e V é o volume de W , então:

  1. A não depende de m e V é diretamente proporcional a m
  2. A é diretamente proporcional a m e V é diretamente proporcional a m 2
  3. A é diretamente proporcional a m 2 e V é diretamente proporcional a m 3
  4. A e V são diretamente proporcionais a m 2
  5. A e V são diretamente proporcionais a m

Passo 1

Vamos começar visualizando o problema com um esboço:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar pela área A . Ela vai ser dada por:

A = ∫ m 2 m 1 x d x

O que vai dar:

∫ m 2 m 1 x d x = ln ⁡ x m 2 m = ln ⁡ 2 m - ln ⁡ m

Pelas propriedades do logaritmo:

ln ⁡ 2 m - ln ⁡ m = ln ⁡ 2 m m = ln ⁡ 2

Então A   não depende de m , e isso já nos basta pra dizer que a alternativa certa é a letra (a)!

Aliás, muito loko né, não importa que m você escolher a integral vai dar sempre ln ⁡ 2 .

Passo 3

Mas bom, a alternativa (a) também diz que V é diretamente proporcional a m , então vamos testar isso.

Pelo método das cascas cilíndricas:

V = ∫ m 2 m 2 π x . 1 x d x

Ótimo, o x vai cortar:

V = ∫ m 2 m 2 π d x = 2 π 2 m - m = 2 π m

Então de fato constatamos que V é diretamente proporcional a m . A letra (a) está mesmo certa!

Resposta

Letra (a)

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