Exercícios Resolvidos de Cascas Cilíndricas

Considere a região plana R definida por:

R = x , y ∈ I R 2 0 ≤ x ≤ π 2   , 4 x π ≤ y ≤ 1 + sin ⁡ x

(a.1) Esboce a região plana R

(a.2) Escreva a área da região R como uma integral na variável x

(a.3) Escreva a área da região R como uma soma de integrais na variável y

Seja S um sóldio de revolução obtido pela rotação da região R em torno do eixo x

(b.1) Utilizando o Método de Discos, escreva o volume de S como uma integral na variável x

(b.2) Utilizando o Método de Cascas Cilíndricas, escreva o volume de S como uma soma de integrais na variável y

(b.3) Calcule o volume de S pelo método que preferir

Passo 1

(a.1) Esboçando a região R

Essa questão vai ser longa porque todos os subitens estão conectados então pega lá seu café e vamo que vamo. Primeiro, vamos olhar a região R do enunciado e seus limites: em x é limitado por números e em y por funções. Os limites de x vão ser:

0 ≤ x ≤ π 2

Então nossa região vai com certeza estar entre essas duas retas verticais, beleza?

Show, agora vamos falar das limitações de y . Por baixo, a limitação é 4 x π . Opa, isso ai é uma reta! Só desenhar então uma reta saindo da origem, de inclinação 4 π . Mas ó, só vamos desenhar a parte dela que fica dentro da região acima. Vamos ter então:

E por cima, y é limitado por 1 + sin ⁡ x , que é uma função com “cara de onda” por causa do sin ⁡ x . Vamos desenhar por cima dessa reta então a ondinha:

A nossa região vai ser então:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(a.2) Escreva a área da região R como uma integral na variável x

A gente já ta careca de saber que a integral de uma função y x nada mais é do que a área abaixo da curva, dados os limites de integração, não é? Então basta a gente deixar bem claro quem é quem no nosso esboço do gráfico. Vamos ter então:

Um cuidado aqui galera, da uma olhada:

A área abaixo de 1 + sin ⁡ x é a área laranja somada com a área verde, enquanto a área abaixo de 4 x π é só a verde. Como queremos só a área laranja, temos que fazer:

A R = ∫ 0 π 2 1 + sin ⁡ x   d x - ∫ 0 π 2 4 x π   d x

Mas como o enunciado pediu uma integral só:

A R = ∫ 0 π 2 1 + sin ⁡ x - 4 x π   d x

Passo 3

(a.3) Escreva a área da região R como uma integral na variável y

Isso aqui colocaram só pra complicar, mas relaxa que a gente tira de letra. Pra respondermos isso, vamos primeiro “deitar” nossa região R . Quando a gente põe a região deitada, invertemos todas as funções. Dá uma olhada:

y x = 4 x π → x y = π y 4

y x = 1 + sin ⁡ x → x y = arcsin ⁡ y - 1

Graficamente, temos:

E agora é moleza porque pra calcular essa área a gente usa a mesma ideia que usamos pra área em função de x . Então ficamos com:

  • A áre do ponto 0 até o 1 (área do triângulo da pontinha):
  • ∫ 0 1 π y 4 d y

  • A área do ponto 1 até 2: é a área abaixo da reta menos a área por baixo do arcoseno...
  • ∫ 1 2 π y 4 d y - ∫ 1 2 arcsin ⁡ y - 1 d y

    Então a área da figura total é a soma das duas partes:

    A R = ∫ 0 1 π y 4 d y + ∫ 1 2 π y 4 d y - ∫ 1 2 arcsin ⁡ y - 1 d y

    Ou, tirando dos parênteses...

    A R = ∫ 0 1 π y 4 d y + ∫ 1 2 π y 4 d y - ∫ 1 2 arcsin ⁡ y - 1 d y

    Como as duas primeiras integrais são as mesmas e a função é contínua... Podemos colocar em uma integral só integrando direto de 0 a 2 , por propriedade da integral, se lembra?...

    A R = ∫ 0 2 π y 4 d y - ∫ 1 2 arcsin ⁡ y - 1 d y

    Passo 4

    (b.1) Utilizando o Método de Discos, escreva o volume de S como uma integral na variável x  

    Chegamos na metade da questão em! Se seu café acabou a essa altura, pega mais um pouco pra te dar um gás. Aqui temos que escrever sem resolver o volume do sólido de revolução usando o método dos discos.

    Vamos lembrar que o sólido é a revolução em torno do eixo x da região R . Como o método de discos já é feito pensando na revolução nesse eixo, vamos dar uma olhada na região R e entender como ela fica:

    Beleza, tamos duas curvas interessantes aí e cada uma delas gera um sólido diferente. A curva y x = 1 + sin ⁡ x revolucionada gera meio que uma “tigela sem furo”. Mas toda boa tigela precisa de um furo pra por os biscoitos dentro. Esse furo é exatamente o cone que é gerado quando revolucionamos y x = 4 x π .

    Então o nosso sólido é uma tigela com furo e pra gente calcular o volume dela, vamos ter que tirar o volume do furo da tigela sem furo. Sendo assim, usando o método de discos para cada uma das curvas, vamos ter

    V S = ∫ 0 π 2 π 1 + sin ⁡ x 2 d x - ∫ 0 π 2 π 4 x π 2 d x  

    E como o enunciado pede numa integral só:

    V S = ∫ 0 π 2 π 1 + sin ⁡ x 2 -   π 4 x π 2 d x  

    Passo 5

    (b.1) Utilizando o Método das cascas cilíndricas, escreva o volume de S como uma soma de integrais na variável y  

    Aqui a gente vai ter uma leve complicaçãozinha mas nada que não demos conta. O método das cascas cilíndricas é pra revolução no eixo y , mas nosso enunciado quer no eixo x . E agora?

    Calma, respira que é tranquilo. Na verdade, já fizemos o que é preciso pra resolver esse problema. Pra usar esse método então, temos que trocar de lado os eixos. E o que é isso se não “deitar” o gráfico e inverter as funções? Pra ficar ainda mais claro:

    As duas rotações acima são iguais! Então se usarmos as funções inversas no método das cascas cilíndricas, vamos obter o mesmo sólido. Então foca nesse gráfico daqui pra não confundir:

    No método das cascas, o volume é dado por...

    ∫ a b 2 π y x y d y

    Veja que temos a integral na variável y e não em x como usual. Isso está acontecendo porque estamos girando em torno de x (como se ele fosse agora a variável dependente, saca?). Repare também que o volume total é o volume que está abaixo da reta menos o pedacinho que está abaixo do arcoseno! Então o volume total é a sobtração dos dois

  • Volume abaixo da reta:
  • ∫ 0 2 2 π y π y 4 d y

  • Volume abaixo do arcoseno (Curvinha de 1 até 2):

∫ 1 2 2 π y arcsin ⁡ y - 1 d y

Logo o volume total do sólido é

V S = ∫ 0 2 2 π y π y 4 d y -   ∫ 1 2 2 π y arcsin ⁡ y - 1 d y

Embora o volume está dado pela subtração, isso é uma soma também, pois sempre podemos escrever

V S = ∫ 0 2 2 π y π y 4 d y + - ∫ 1 2 2 π y arcsin ⁡ y - 1 d y

Passo 4

(b.3) Calcular o volume por qualquer um dos métodos  

Opa, agora é só calcular mesmo. Trabalho braçal infelizmente mas pelo menos estamos chegando ao fim. Vamos lá então, as fórmulas que podemos usar são:

V S = ∫ 0 π 2 π 1 + sin ⁡ x 2 -   π 4 x π 2 d x  

V S = ∫ 0 2 2 π y π y 4 d y -   ∫ 1 2 2 π y arcsin ⁡ y - 1 d y

A segunda parece um pouco complicada né? Vamos então com a primeira. Vamos ter:

V S = ∫ 0 π 2 π 1 + 2 sin ⁡ x + s i n 2 x   -   16 x 2 π d x  

V S = ∫ 0 π 2 π d x + ∫ 0 π 2 2 π sin ⁡ x d x + ∫ 0 π 2 π s i n 2 x d x - ∫ 0 π 2   16 x 2 π d x  

Ai calculando cada uma das integrais, vamos ter, na primeira:

∫ 0 π 2 π d x = π x x = 0 x = π 2 =   π 2 2

E pra segunda integral:

∫ 0 π 2 2 π sin ⁡ x d x = - 2 π cos ⁡ x x = 0 x = π 2 =   2 π

Pra terceira integral:

∫ 0 π 2 π s i n 2 x d x = ∫ 0 π 2 π   1 - cos ⁡ 2 x 2 d x

= ∫ 0 π 2 π 2 d x - π 2 ∫ 0 π 2   cos ⁡ 2 x d x

Realizando a substituição simples

u = 2 x

d u = d x

x = 0 → u = 0

x = π 2 → u = π

Ficamos com:

= π 2 x x = 0 x = π 2 - π 2 ∫ 0 π   cos ⁡ u d u

= π 2 4 - π 2 sin ⁡ u u = 0 u = π

∫ 0 π 2 π s i n 2 x d x = π 2 4

E pra quarta integral, finalizando:

∫ 0 π 2 16 x 2 π d x = 16 x 3 3 π x = 0 x = π 2 =   2 π 2 3

Juntando tudo:

V S = ∫ 0 π 2 π d x + ∫ 0 π 2 2 π sin ⁡ x d x + ∫ 0 π 2 π s i n 2 x d x - ∫ 0 π 2   16 x 2 π d x  

V S = π 2 2 +   2 π +   π 2 4 -   2 π 2 3

V S = 6 π 2 12 +   2 π +   3 π 2 12 -   8 π 2 12

V S = π 2 12 +   2 π

Ufa, fechamos a questão!

Resposta

(a.1)

(a.2) A R = ∫ 0 π 2 1 + sin ⁡ x - 4 x π   d x

(a.3) A R = ∫ 0 2 π y 4 d y - ∫ 1 2 arcsin ⁡ y - 1 d y

(b.1) V S = ∫ 0 π 2 π 1 + sin ⁡ x 2 -   π 4 x π 2 d x  

(b.2) V S = ∫ 0 2 2 π y π y 4 d y -   ∫ 1 2 2 π y arcsin ⁡ y - 1 d y

(b.3) V S = π 2 12 +   2 π

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