Nos seguintes itens determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões em torno dos eixos dados.

b) A região delimitada por y = x , y = 2 , x = 0 em torno

(i) da reta x = 4 .

(ii) da reta y = 2 .

Passo 1

Fala turminha beleza? Bora lá! Primeiro passo é construir a região de acordo com o que ele pede. Temos portanto:

Passo 2

Show, agora vamos usar a imaginação. Ao rotacionar, essa figura vai formar uma espécie de cilindro com uma das faces oca, em um formato irregular mas que iremos calcular o volume. Portanto,

V t o t a l = V c i l i n d r o - V o c o

Pra o volume do cilindro, fazemos:

V c = π ∫ 0 2 4 2 d y

V c = 16 π   4 y ​ 0 2 = 32 π

Passo 3

Para o volume oco, primeiro transformaremos a curva que delimita a nossa região. Isso porque como estamos rotacionando em torno do eixo x, precisamos de uma f(x), e não uma f(y) como ele nos entrega.

f x = y = x + 4

f y = x = y 2 - 4

Agora indo pra integral, temos:

V o c o = π ∫ 0 2 y 2 - 4 2 d x

Resolvendo ela, temos:

V o c o = π x ​ 0 2 + 16 π x ​ 0 2

V o c o = 256 π 15

Sabemos que o volume que a gente quer é igual a diferença desses volumes:

V S = V c - V o c o

V s = 32 π - 256 π 15 = 224 π 15

Passo 4

Pra o item ii), temos uma situação diferente. Temos a seguinte rotação:

Como agora ela rotaciona em função de x, não precisamos converter fórmula. Portanto, a integral fica (também delimitada pelos mesmos intervalos do item (i)):

V s = π ∫ 0 4 x - 2 2 d x

V s = π ∫ 0 4 ( x - 2 * ( 2 x + 4 ) ) d x

Resolvendo ela:

V s = x 2 2 - 4 ⋅ 2 x 3 2 3 + 4 ⋅ 4 0 4 = 8 3 π

Resposta

i V S = 224 π 15

i i V S = 8 3 π

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Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em