Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e largura. Então, escreva a integral que dá o volume do sólido de rotação dessa área em torno das retas dadas. Em, pelo menos um dos volumes deve ser usado o método das cascas cilíndricas.

12   y = 3 x ,               y = 3 x ,     y = 9   : e m   t o r n o   n o   e i x o   y   e   r e t a   x = - 1

Passo 1

Faaaaala meu/minha consagradx!! Beleza?? Seguinte, vamos devagarinho aqui... parte por parte sobre o que a questão pede.

Primeiramente vamos esboçar a curva y = 3 x e a curva y = 3 x em um mesmo gráfico:

Analisando ainda mais a figura, vemos que a região delimitada entre as curvas é essa aqui ó:

Tá... Mas e esse “retângulo aproximadamente típico” que a questão pede??

Ele não é nada mais e nada menos do que um retângulo em que a altura equivale a diferença entre as duas funções e a largura é a variação do no eixo x , ou seja, Δ x . Para ficar mais fácil de entender, podemos ver:

Passo 2

Dessa forma, o volume sólido de rotação em torno do eixo y , ou seja:

Como queremos em torno do eixo y , vamos fazer o seguinte para nossa vida ficar mais fácil:

y = 3 x ∴ log 3 ⁡ y = x ∴ ln ⁡ y ln ⁡ 3 = x

E da outra função, temos:

y = 3 x ∴ x = 3 y

Logo, temos a seguinte integral:

V = π ∫ 3 9 ln ⁡ y ln ⁡ 3 2 - 3 y 2 d y ∴

V = π ∫ 3 9 ln 2 ⁡ y ln 2 ⁡ 3 - 9 y 2 d y ∴

V = π 33 ln 2 ⁡ 3 - 30 ln ⁡ 3 + 12 ln 2 ⁡ 3 - 2

Passo 3

Agora, em torno da reta x = - 1 a gente pode usar o Método das Cascas Cilíndricas (MCC) para descobrir o volume do sólido de rotação em torno dessa reta aí. Ou seja:

V M C C = 2 π ∫ 3 9 ( 1 + y ln ⁡ y ln ⁡ 3 - 3 y ) y d y

Basicamente a gente multiplica a integral por 2 π (que nem a gente calcula o perímetro de uma circunferência ;D) e dentro da integral aquele termo ( 1 ) é pra escolher o eixo de rotação (no caso em x = - 1 ).

Logo, resolvendo a integral, temos:

V M C C = 2 π ∫ 3 9 ( y + y ln ⁡ y ln ⁡ 3 - 3 ) d y ∴

V M C C = π 153 ln ⁡ 3 - 36 ln ⁡ 3 + 36

Legal ne??? Vamos para a próxima!! Valeeeeu!!

Resposta

V = π 33 ln 2 ⁡ 3 - 30 ln ⁡ 3 + 12 ln 2 ⁡ 3 - 2

V M C C = π 153 ln ⁡ 3 - 36 ln ⁡ 3 + 36

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em