Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

( g )   y   =   2 1 + x 2 ;   x   =   1 ;   x = 2 , em torno do eixo y.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que encontrar o volume do sólido de rotação ao girarmos em torno do eixo y a região   y   =   2 1 + x 2 ;   x   =   1 ;   x = 2 . Foi pedido para utilizarmos o método das cascas cilíndricas, sendo esse método aplicado quanto temos retângulos, de largura infinitesimal, paralelos ao eixo de rotação. Então o volume total é dado pela soma dos volumes das cascas cilíndricas formadas quando esses retângulos são rotacionados ao redor do eixo. No caso, a região a ser rotacionada em torno do eixo y é apresentada no gráfico abaixo:

d V = 2 π   x   h   d x

sendo:

x o raio do cilindro formado;

h =   2 1 + x 2 a altura do cilindro;

d x a largura da casca.

Então, observando o gráfico para determinar os limites de integração, o volume total fica:

V = 2 π   ∫ 1 2 x   (   2 1 + x 2 )   d x

Então vamos lá resolver essa integral!

Passo 2

Temos que resolver a integral

V = 2 π   ∫ 1 2 2 x 1 + x 2   d x

Então, resolvendo a integral por substituição simples u = 1 + x 2 e aplicando os limites

V = 2 π   ∫ x = 1 2 1 u   d u = 2 π   ( l n ( 1 + x 2 ) ) | 1 2 = 2 π   ( l n ( 5 ) - l n   ( 2 ) )

V = 2 π   l n ( 5 2 )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = 2 π   l n ( 5 2 ) ;

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em