Exercícios Resolvidos de Cascas Cilíndricas

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Enunciado

Seja R a região delimitada pelas curvas y = x e y = x 2 - 3 x

  1. Esboce a região R
  2. Escreva a integral, ou soma de integrais, que determina(m) o volume do sólido obtido pela rotação da região acima ao redor da reta x = - 2
  3. Calcule o volume da sólido do item acima.

Passo 1

Letra a) Pow, nesse tipo de exercício, ajuda muito se antes a gente entender quem são e como essas duas curvas.

Bem, podemos identificar que a primeira curva é aquela reta passando pela origem

Quanto a curva y = x 2 - 3 x é uma parábola que passa pela origem e o ponto 3 quando y se anula

A junção dessas duas curvas terá a região amarela

Passo 2

Letra b) Pow, a gente vai girar a curva em torno da reta x = - 2 . Primeiramente, perceba que essa reta é uma reta paralela ao eixo y , dessa forma aqui

Como essa reta está paralela ao eixo y , é super aconselhável que façamos pelo método das casacas cilíndricas, percebeu?

Então vamos recordar a fórmula desse método:

V o l u m e = 2 π ∫ a b ( x - x 0 ) g x - h x d x

Eu sei! Fórmula gigante, neh? Calma que vamos recordar passo a passo quem são esses termos, bele?

Vamos começar por esses limites loucos aí, a e b

Passo 3

Então, a e b são os limites que x assume dentro dessa região, e para determinar isso, a gente vai olhar para a interação matemática dessas duas curvas, ou seja, vamos descobrir quem são aqueles dois pontos de intersecção. Veja só

y = x y = x 2 - 3 x

Basta então resolver esse sisteminha com as duas curvas e pronto!

Substituindo o y de cima na de baixo

x = x 2 - 3 x   →

x 2 - 3 x - x = 0 →

x 2 - 4 x = 0

colocando o x em evidência...

x x - 4 = 0

logo, ou x = 0 ou

x - 4 = 0         →               x = 4

Logo, os dois pontos são como poderíamos imaginar pelo gráfico o 0 e o 4

Passo 4

Então a gente tem que

V o l u m e = 2 π ∫ a b ( x - x 0 ) g x - h x d x   →

V o l u m e = 2 π ∫ 0 4 ( x - x 0 ) g x - h x d x

Agora, o que significa esse termo ( x - x 0 ) ?

Bem, o x 0 é a reta que vamos girar a região, portanto

V o l u m e = 2 π ∫ 0 4 ( x - - 2 ) g x - h x d x →

V o l u m e = 2 π ∫ 0 4 ( x + 2 ) g x - h x d x

Passo 5

Tamo montando a nossa integral de pouco a pouco, percebeu? :D

Só falta agora a gente falar quem é essa g e essa h .

Bem, pela teoria dessa matéria, a gente tem que a g é a função que está por cima (no nosso caso é a reta)

g x = y = x

e a h , é a função que está por baixo, portanto

h x = x 2 - 3 x

Então a gente pode concluir que

V o l u m e = 2 π ∫ 0 4 ( x + 2 ) g x - h x d x     →

V o l u m e = 2 π ∫ 0 4 ( x + 2 ) x - x 2 - 3 x d x →

Dando uma arrumada na casa :D

V o l u m e = 2 π ∫ 0 4 ( x + 2 ) x - x 2 + 3 x d x →

V o l u m e = 2 π ∫ 0 4 ( x + 2 ) 4 x - x 2 d x

Prontinho! Integral que resolve a nossa vida!

Passo 6

Letra c) Bem, agora é só resolver a integral acima

V o l u m e = 2 π ∫ 0 4 ( x + 2 ) 4 x - x 2 d x →

Multiplicando esses termos entre parênteses

2 π ∫ 0 4 4 x 2 - x 3 + 8 x - 2 x 2 d x =

2 π ∫ 0 4 - x 3 + 2 x 2 + 8 x d x

Calculando a integral de cada um desse termo aí

2 π ∫ 0 4 - x 3 + 2 x 2 + 8 x d x = 2 π - x 4 4 + 2 x 3 3 + 8 x 2 2 0 4 =

Substituindo esses limites

2 π - 4 4 4 + 2 ∙ 4 3 3 + 8 ∙ 4 2 2 + - 0 4 4 + 2 ∙ 0 3 3 + 8 ∙ 0 2 2 =

2 π - 4 3 + 2 3 4 3 + 4 ∙ 4 2 =

2 π 2 3 4 3 =

256 3 π

Resposta

Letra a)

Letra b)

V o l u m e = 2 π ∫ 0 4 ( x + 2 ) 4 x - x 2 d x

Letra c)

256 3 π

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